一道高考题的五种解题策略

2009重庆卷理15题是一道求圆锥曲线离心率的取值范围的题,此类型的题目在历年的高考中也频繁地出现过,如2007辽宁卷11、2008福建卷11其类型完全相同,尤其与2008湖南卷10是同一道题,其解法灵活多样,往往需要借助双曲线的定义、范围和性质、图形、正、余弦函数的有界性等,构造不等式而达到求解的目的.

为 s i n尸啊要有意义 )即,

尝}e>

>c+。,

化简,

得

e 2_

2e

—

l<0

,

解得

:

1

一

、丁< e/

<

l

+

、丁/,e=

而双曲线的离心率

1

,

又

1

+

、 _ _仍满足题意故/,

1< e≤ l

+

、丁/,

策略

三

:

在焦点三角形中根据余弦.

函数的有界性求解

解析：在△尸一尼中记￡一眠

=

疗，由余

弦定理知：删

口

=

芝筹辫:

=

譬霄,.

墨生

.

三生1s

警

2e

根据余……一

弦函数的有界性得得简得f。~

一

上掣解得

s

l

,

化

孔

i小知

L

>

2e - 1≥ 0,一

’ 1<e s

’’ l+

2e

1≤0

、- _/2009

重庆卷理

15

题是

一

道求圆锥in

分析：由正弦定理s

曲线离心率的取值范围的题此类型的题,

警爱惨又答争射=

策略四：根据双曲线焦点三角形的面

目在历年的高考中也频繁地出现过如,

.

.‘

啊疋

一

Ⅱ

.

面丽

一

了

。

‘

1丛 i而

l

一一

1

积公式 6≈o￡昙并结合正弦函数的有界性

了,

2007

辽宁卷,

1 1 20 0 8、

福建卷湖南卷,

1110

其类型是同一

l啊 I=: l巩 l由此知 I眠 I> I眠 I eP

所以点

求解

.

完全相同尤其与,

2008

在双曲线上的右支上策略一

解析：在△巩 R中记[一腿.

:

口，根据

道题其解法灵活多样往往需要借助双曲线的定义范围和性质图形正余弦、、、、

:

利用平面几何性质?”

“

三角

双曲线焦点三角形的面积公式 6 2c。￡罢则6 2c。￡

形两边之和大于第三边

构造不等式求

函数的有界性等构造不等式而达到求解,

解

.

手争啊=

×l

l×矾 l

IⅫ i n p

j

咖

。

手=

的目的

.

妙解：由定义得：1腿 1 1P F 2l- 2Ⅱ与—

骅‘}

≤ l

e旷

化简得 (e’一

:一

1 )0

—

: 1)≤ 4 e

I’

y

旧 I兰

=

e

峨 l联立解得： I啊 I-兰早

,

I眠

l_

即e0,

。一

2e

2e+

—

l s Oj

(e z+ 1)0

。一

知

一

1)≤

^%Fl

}

,

由三角形性质 I明^—

…限 I> l—R l得

:

解得

l<e s:

l

、丁/

策略五一

利用双曲线性质：若点 p在=

竺,e—

^

/ t倒 (2 0 0 9重庆卷15

lo

拟

E

竿+ l

兰—

e

牛> 2 c化简得 e 2-知 l一

一

l<o

双曲线等a。

一

等 D。

1

上则由酬≥ n构造不等,

解得：l

、丁< e< 1+、丁//l

,

而双曲线,

式求解

.

的离心率故1<e

e>

且

e

:

1+

、丁仍满足题意/

解析：设 P点的横坐标为%由 I明 l_e

≤ 1+

、丁/:

)已

知双曲线乓

IP F 2I即

e x

汁 n::e

(e x口

一

。

n)解得e。一

x

产

一

策略二

以形助数利用图形中的隐,

芝 j;}一

又

鲁(一

=

1

(口> 0,

,

6

>

0

)的左右焦点分别为一、

含条件构造不等式求解巧解兰:

z.

。

≥

a

,

即掣兰e

≥

,

化简得,

2e

1s 0

解

c

,

0)最=

(c o),

,

若双曲线上存在点

P

使

由上可知：J矾

I=鱼

}

,

I矾 l_

得

l

一

、丁/

s

l

+

、丁/

薹爱手筹争范围是——

,

则该双曲线离心率的取值

譬点

尸在双曲线右支上由图可知：

而双曲线的离心率. .

e>

l

,

<】e s

l+、丁/

IP—l> c

+。

(注意 P不可为图中的 A点因,