2013届高考数学一轮复习讲义 2.5 二次函数

2013届高考数学一轮复习讲义

一轮复习讲义

二次函数

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0). ②顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).

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要点梳理图象

忆一忆知识要点

函数性质 定义 域 值域 x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a>04ac b y [ , ) 4a2

2. 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质

a<04ac b y ( , ] 4a2

奇偶 性单调 性 图象 特点

b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函 数 a>0 a<0

b 时递减 x ( , b ]时递增， x ( , ] 2a 2a b b , ] 时递减 x [ , ) 时递增 ( 2a 2a 2 b ②顶点: ( b , 4ac b ) ①对称轴: x 2a 4a 2a

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时， 图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|=|x1- Δ x2|= . |a|

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[难点正本

疑点清源]

1.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件 的特征， 可选择一般式、 顶点式或零点式中的一种来求. ①已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时， 选用零点式求 f(x)更方便.

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2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一 般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的 符号；③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.

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求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, f(x) 且 的最大值是 8,试确定此二次函数.

确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵 活运用. 解 方法一 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, 依题意有 2 4ac-b 4a =8, a=-4, 解之，得 b=4, c=7,

∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7.

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设 f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+(-1) 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值为 n=8, 1 2 ∴y=f(x)=a x-2 +8. 1 2 ∵f(2)=-1,∴a 2-2 +8=-1, 解之，得 a=-4. 方法二 1 2 ∴f(x)=-4 x-2 +8=-4x2+4x+7.

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方法三

依题意知：f(x)+1=0 的两根为

x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.

即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a(-2a-1)-a2 又

函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解之，得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

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探究提高二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 已知函数的类型(模型),求其解析式，用待定系数法，根据 题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷.

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变式训练 1设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 0≤x≤2 时，y=x,当 x>2 时，y=f(x)的图象是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的 一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图；

(3)写出函数 f(x)的值域.

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解

(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=

a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得 a=-2, ∴y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时，f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时，即-x>2. 又 f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.

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(2)函数 f(x)的图象如图：

(3)由图象可知，函数 f(x)的值域为(-∞,4].

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二次函数的图象与性质例 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围， y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 使 函数； (3)当 a=1 时，求 f(|x|)的单调区间.

对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3), 应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域 的限制作用.

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解

(1)当 a=-2 时，f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于

x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, f(-4)=35, 又 f(6)=15, f(x) 故 的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数，应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时，f(x)=x2+2x+3,∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], x 2 x 3 , x ( 0 , 6 ], f (x) 2 x 2 x 3 , x [ 6 , 0 ],2

且

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],,单调递减区间是[-6,0].

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探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键 是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴 与区间的关系进行分类讨论； (2)二次函数的单调性问题则主 要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.