2011年高考数学解答题后两题训练试题3

g

解答题后两题训练（三）

20. (本大题满分12分)已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(－1，0)、B(1，0)，平面内两点G、M同时满足以下条件：①GA GB GC 0；②|MA| |MB| |MC|；③GM//．

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；

(2)过点P(2，0)的直线l与△ABC的顶点C的轨迹交于E、F两点，求 PF的取值范围．

21.(本大题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn 且a2=1，bn (1

1*

)an 1(n∈N)． 2an 1

n*

an(n∈N)， 2

(1)求数列 an 的通项公式；

(2)已知定理：“若函数f (x)在区间D上是凹函数，x＞y(x，y∈D)，且f (x)存在，则有

f(x) f(y)*

f (x)”．若y xn 1(n∈N)在(0，+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大

x y

小； (3)求证：

3

≤bn＜2． 2

20．(1)解：设点C、G的坐标分别为(x，y)，(x0，y0)

( 1 x0， y0) (1 x0， y0) (x x0，y y0)

(x 3x0，y 3y0) 0

x 3x0, ∴

y 3y0,

2分

和GM//AB，知点M的坐标为(0，y0)，

22

x2 y y0

，可得 y0

y2y24222

x y，即x 1, ∴1 993y2

1(y≠0) 故点C的轨迹方程是x 3

2

5分

(2)解：直线l的斜率为k(k≠0)，则它的方程为y k(x 2)

y k x 2 ,2222

由 2可得(3＋k)x－4kx＋4k－3＝0 2

3x y 3 0,

其中△＝16k-4(3＋k)(4k－3)＝36(1－k)＞0，∴－1＜k＜1且k≠0 设两交点为E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由韦达定理得 x1 x2

4k2k 3

2

2

2

2

2

7分

，x1x2

4k2 3k 3

2

8分

又因为y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，从而

g

PE PF (x1 2，y1) (x2 2，y2) (x1 2)(x2 2) y1y2 (1 k2)(x1 2)(x2 2)

2 (1 k2)[x 321x2 2(x1 x2) 4] (1 k2

)(

4kk2

3

2

4kk2

3

4)

9(1

2

k2

3

) 又0＜k2＜1，所以3＜k2

＋3＜4，得PE PF (392)

∴PE PF的取值范围是(3，

92

) 21．(1)解：a1n 1 Sn aan 1 Sn 2an

n 1n 1 2an n nn 1

(n≥2) ∴

an 1n ann 1 a

21

1，an+1＝n，an＝n－1 (n≥2) 又a1＝0适合上式，∴an＝n－1

(2)证：b1n 1 (1 2(n 1))n 1，b1n (1 n

2n

)

令x 1

12n，y 1 12(n 1)

，则x＞y 由于y xn 1(n∈N*)在(0，+∞)上是凹函数

∴

xn 1 yn 1

x y

(n 1)xn (1

1)n 1 (1 1 即

2(n 1)

)n 12n (n 1)xn(1 12n) (1 1

2(n 1)

)

(1

1

2n)bn bn 1

1 (n 1)b11n (1 2n)bn bn 1 2nbn

2n(n 1)

∴bn＜bn+1

(3)证：由(2)知bn＞bn－1＞ ＞b1

3

2

又Cr

12n)r (nn n 1n(

n n r 1n) 11r1r!(2)≤(2

)r(0≤r≤n)， ∴bn≤1 12 (12)2 (12)n 2 (1

2

)n 2， ∴3

2

≤bn<2

10分

12分 2分

4分

6分

8分

10分

12分

14分