补 1 简单递推数列

新课标高中数学 专题复习

理数1

第五单元

数列、推理与证明

第34讲简单递推数列

1. 了解递推公式也是给出数列的一 种方法，并能根据递推公式求出满足条 件的项.2. 掌握简单递推数列的通项公式的 求法. 3. 熟悉递推公式模型，灵活应用求 解通项及前n项和.4

1.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1= (n≥2),则a = n 1 - 2 +1 .n

1 n 1 n

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =( n 1 - n )+( n - n 1 )+…+( 3 - 2 )+1 = n 1- 2 +1.5

n 1 2.已知a1=1,an= · an+1,则an= n

1 . n

an 1 n 1 由 = 得， an n n 1 a2 an 1 a3 2 = , = ,…, = . n a1 an 1 2 a2 3 1 2 n 1 1 以上各式累乘得an= × ·…· = . 2 3 n n6

3.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2都有 a1a2a3…an=n2,则a3+a5= 61 .16

9 所以a3= . 4

因为a1a2a3=32,a1a2=22,

因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,25 所以a5= , 16 36 25 61 所以a3+a5= + = . 16 16 16

4.(2010· 长郡中学)已知对任意正整数n, a1+a2+a3+…+an=2n-1, 则 a12+a22+a32+…+an2 等于( C ) 1 n 2 A.(2 -1) B. (2n-1)1 n C. (4 -1) 3

D.4n-1

3

易知a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,a1

也适合，故{an}是以2为公比的等比数列，则 {an2}是以 1为首项，以 4为公比的等比数 n 1 1(1 4 ) n 列，故S= = (4 -1). 8 3 1 4

5.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an=

32n-1 .

由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an=32n-1.

常见递推数列的通项公式的求法 (1)若an-an-1=f(n),求an可用① 迭加 法. an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2).an (2)若 =f(n),求an可用② 累乘 法. an 1 an an 1 a2 a n= · ·…· ·a1(n≥2). an 1 an 2 a1

(3)已知a1· a2·…·an=f(n),求an,用③ 作商 法 an=f(1)f ( n) f (n 1)

(n=1)

(n≥2).

(4)若an+1=f(an),求an可用④ 迭代

法.

(5) 若 an+1=kan+b, 则可化成 (an+1+x)=k(an+x), 从而{an+x}是⑤ 等比 数列，其中x可以由 ⑥ 待定系数法 求出. (6) 若 an=kan-1+bn(k,b 为常数 ) ,可以用待定 系数法转化为公比为k的等比数列，再求an. (7) 若 数 列 {an} 满 足 a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan, 则 可 化 为 (an+2等比 xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得 , 从而{an+1-xan}构成⑦ 数列.11

(8) 若 an+1· an+pan+qan+1=0, 可 化

成 1+

p

an 1

p 1 + =0,令 =bn,从而上 an an

式变成bn+1=k· bn+b型.

(9)已知an Sn的递推关系，先化 归，再求an或 Sn,化归常用作差法：a n= S1 Sn-Sn-1 (n=1) (n≥2).12

典例精讲题型一 叠加、叠乘法

例1 (1) 在 数 列 {an} 中 ， a1=1 ,an+1=an+3n2,求数列{an}的通项公式； (2) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1=1 , an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2) ,求 数列{an}的通项公式an.13

(1)由题意，an+1=an+3n2,a1=1, 所以a2=a1+3×12,a3=a2+3×22,a4=a3+3×32,…, an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3×(n-1)2,

逐项相加，得an=a1+3[12+22+…+(n-1)2]( n 1) n(2n 2) =1+3× 6 =1+ (n 1)n(2n 2

) . 2

(2)当n≥2时,有an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1, ①

an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan,由②-①,得an+1-an=nan,即an+1=(n+1)an, 1)·…·a2.an an 1 a3 所以an= × ×…× × a2 =n(nan 1 an 2 a2

②

由于a2=a1=1,a3=a1+2a2=3,则当n≥2时,an=n(n-1)(n-2)…a2 所以 an=

=n(n-1)(n-2)×…×3,1 (n=1)15

以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘 后右边可以化简即可，同时要注意自 变量n的取值范围.

an 1 点评 对an+1-an=f(n)型和 a =g(n)型可 n