导数探讨函数图像的交点问题

2007年黄冈市二轮备考会数学交流材料及试卷

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题

2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。

但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。

例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略

（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，

∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0

∵x>0 ∴函数 (x)=g(x)－f(x) = x

轴有且只有三个不同的交点。

2

2

－8x+6ln x+m的图象与x轴的正半

62x2 8x 62(x 1)(x 3)

(x 0), ∵ '(x) 2x 8

xxx

当x∈(0,1)时， (x)〉0， (x)是增函数；当x∈(1,3)时， (x)〈0， (x)是减函数；当x∈(3,+∞)时， (x)〉0， (x)是增函数；当x=1或x=3时， (x)=0。

1

1

1

1

∴ x 极大值 1 m－7, x 极小值 3 m+6ln 3－15.

∵当x→0时， (x)→ ，当x 时， (x) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须

(x)极大值 m 7 0,

(x) m＋6ln3 15 0,极小值

∴7<m<15－6ln 3.

所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）

2007年黄冈市二轮备考会数学交流材料及试卷

引申1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？

前面相同，只需把后面改为 (x)极小值 m+6In3-15>0或 (x)极大值 m-7<0，

即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？

前面相同，只需把后面改为 (x)极小值 m+6In3-15=0或 (x)极大值 m-7=0，

即m=15-6In3 或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。

图4 图5

从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 (x)③研究函数 (x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数 (x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解

解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。 下面用这几个步骤来完成2006年四川卷第21题。

例2（四川卷第21题）已知函数f(x)

1

x3+3ax 1,g(x) f (x) ax 5,其中

f1(x)是的f(x)的导函数。

（Ⅰ）对满足 1 a 1的一切a的值， 都有g(x)

2

0,求实数ｘ的取值范围；

（Ⅱ）设a m，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3只有一个公共点。

解：（Ⅰ）略

2007年黄冈市二轮备考会数学交流材料及试卷

（Ⅱ）f(x)

x3+3ax 1,f' x 3x2 3m2

①当m 0时，f x x3 1的图象与直线y 3只有一个公共点

②当m 0时，令 (x)= f(x)-3=x 3ax 4， 1(x)=3x 3a=3x 3m

3

2

2

2

(x)极小值 m) 2m2m 4〈-4

又∵ (x)的值域是R，且在m, 上单调递增

∴当x m时函数y (x)的图象与x轴只有一个公共点。

当x m时，恒有 (x) ( m) 由题意得 ( m) 0 即2mm 4 0

解得m

综上，m的取值范围是（分析草图见图6）

当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。如：2006年福建文科卷21题。

例3（福建文科卷第21题）已知f(x)是二次函数，不等式f(x) 0的解集是(0,5),且

2

f(x)在区间 1,4 上的最大值是12。

2007年黄冈市二轮备考会数学交流材料及试卷

（I）求f(x)的解析式；

（II）是否存在实数m,使得方程f(x)

37

0在区间(m,m 1)内有且只有两个不等的x

实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）f(x)=2x 10x(过程略) （II）方程f(x)

2

37

0等价于方程2x3 10x2 37 0. x

设h(x) 2x3 10x2 37, 则h'(x) 6x2 20x 2x(3x 10).

h'(x) 0,h(x)是减函数； 当x ( ,0)时，

10

)时，h'(x) 0,h(x)是减函数； 310

当x (, )时，h'(x) 0,h(x)是增函数。（见图7） 图7

3

101

0,h(4) 5 0, h(3) 1 0,h()

3271010

方程h(x) 0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4, )内没有

33

当x (0,实数根，

所以存在惟一的自然数m 3,使得方程f(x)

37

0在区间(m,m 1)内有且只有两个x

不同的实数根。

从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。 练习

对于公比为2，首项为1的等比数列，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论。 解：设等比数列bn，则bn 2n 1，

设等差数列通项对应的函数为y ax b，等比数列通项对应的函数y 2

x 1

，

y 2x 1

x 1x 1x 1

由 ，由2 ax b 0，设f(x) 2 ax b，则f'(x) 2ln2 a y ax b

当a 0时，显然f'(x) 0，即f(x) 0为单调递增函数，故y f(x)至多与x轴有一个交点，即方程2

x 1

ax b 0至多有一个根；

2007年黄冈市二轮备考会数学交流材料及试卷

aa，则f'(x) 0；若x 1 log2，则f'(x) 0； ln2ln …… 此处隐藏：1845字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……