圆锥曲线中参数范围求解问题(王岩)

圆锥曲线中有关取值范围的求解方法

王 岩

圆锥曲线的考查始终是高考的热点也是重点，有很多问题都可以和圆锥曲线结合出题，那么关于圆锥曲线的范围问题也是一种考查形式，现就圆锥曲线中有关取值范围的求解方法做一点简单的总结。

一、从圆锥曲线的内蕴性质中，挖掘不等量关系,确定参变量的取值范围

例1已知双曲线以直线x+1=0为右准线，离心率为2，且过点P（1，0），求此双曲线实轴长的取值范围。

解：设双曲线的中心为M，实轴A1A2交右准线于N，由几何性质知：双曲线右支上点到右准线距离最小值为|A2N|，而点P（1，0）在右支上且它到右准线距离为2，

故必有|A2N|≤2，所以a- ≤2。

∵e=2即c=2a，知a ≤2 a≤4故实轴长取值范围为（0，8）。

二、点在曲线内部

例2已知椭圆的方程称。

x

2

4

y

2

3

1，试确定m的范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y 4x m对

2

x12y1

1 43解析：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点(x,y) A、B两点都在椭圆上所以 2 2

x2 y2 1 3 4

两个式子作差可得

x(x1 x2)

2

2y(y1 y2)

3

0，又

y1 y2x1 x2

k

14

所以y 3x，又中点在直线y 4x m上故有中点为( m, 3m)

m4

2

该点在椭圆内部所以

9m3

2

1，可知m的范围为(

213

,

213

)

二、三角换元三角函数的有界性 例2 椭圆

xa

22

yb

22

1(a b 0)，A、B为椭圆上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于P(x0,0)，

求证

a ba

22

x0

a ba

22

证明：A、B两点都在椭圆上故可设A(acos ,bsin )，B(acos ,bsin )

bsin bsin

2

2

2

则AB的垂直平分线的方程为y

acos acos bsin bsin

(x

acos acos

2

)

该直线与想x轴的交点即令y=0可得x0

2

(a b)(cos cos )

2a

2

因为 2 cos cos 2，所以 三、利用基本不等式

a ba

x0

a ba

22

例3集合M是直角坐标平面内方程为2kx 9y k2 0(k R)的直线的集合，集合S是满足以下条件的点的集合：对于S中的每一个点，在集合M中有且仅有一条直线通过该点 （1） 求集合S中的点的轨迹方程；

（2） 设P、Q是（1）中轨迹上的两点，线段PQ的中点到x轴的距离为3，求|PQ|的最大值

解：(1)设(x,y)是S中的任意一点，该点在直线上，则2kx 9y k2 0(k R)，又有且仅有一条直线过该点，则符合条件的k只有一个，即关于k的方程2kx 9y k2 0(k R)有且只有一个实数根，

0 4x2 36y 0即x2 9y 0

(2)设点P，Q在曲线上，故可设P(x1, x1 x2

2

2

19

x1),Q(x2,

2

19

x2)，线段PQ的中点到x轴的距离为3，所以

2

54

|PQ|

(x1 x2) [

2

19

(x1 x2)]

222

181

(x1 x2)[81 (x1 x2)]

22

19

(54 2x1x2)(135 2x1x2)

212

19

54 2x1x2 135 2x1x2

2

212

故|PQ|的最大值为

四、利用圆锥曲线的定义

再看例3第二问，抛物线的焦点为F(0,

94

)，p

92

，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，线段PQ的中点到x轴

的距离为3，所以y1 y2 6，由抛物线的定义可知点P、Q到焦点距离和为

|PF| |QF| p (y1 y2)

92

6

212

，根据三角形两边之和大于第三边可知，当P,Q,F能够成

212

三角形时有|PQ| |PF| |QF|，当三点共线时有|PQ| |PF| |QF|，故有|PQ|的最大值为