二重极限求法探析

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第

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河北能源职业技术学院学报卿一一一

年

卜

文章编号

二重极限求法探析杨雪宏宋振新,

段长存,

河北能源职业技术学院基础部河北唐山摘要极限运算是数学分析中较重要的一种运算本文通过实例论述了求二元函数极限的,。,

几种常见方法这有助于推广到计算多元函数的极限问题关键词二重极限连续夹逗准则变童代换累次极限中图分类号文献标识码

伍一

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一

一

厄

,

二元函数的极限在多元函数的微积分学理论中是重要的,。

例解·

计算吕~ y~+ ) y O 0

了

二元函数的极限和一元函数的,。

极限在本质上是相同的但形式复杂得多,

二重

二 (x‘~ y 0

二

, 0

极限的计算教科书中涉及较少学生学习感到困难下面介绍几种常用的计算方法一、,。

一0

舒 n生 11。 ( x吕

利用函数的连续性求极限,

+

刃

。 n i

若二元函数p~ po例 1

在点。

。

连续则

,

止牛y

二

。

一O y~ 0

三利用极限四则运算法则一

、

i计算 l m生土上;斗 x y, y )

. 11一尹尹例 3 11。 (: s in一十名

劣

+

y

、

一O y~ 0

一

了一2

2

解:函数 f(x

二

兰里是二元初等函数在其土

,

11。 ( x: in名~ y~ 0 0

工)

定义区域是连续函数m i l .、

。

Xy (1,

, ) 2

是连续点=

.

1= lim xs in一尹2 3一二=吕~ y~ O 0

三生2

,

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二瑰

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卿 m i l

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一

y x

0 0

+

0

二利用无穷小的性质收稿日期:2 002一 0作者简介:杨雪宏一

5, 1 9

2 0

1 6

年生女大学河北能源职业技术学院基础部讲师,,

,

。

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杨雪宏等:二重极限求法探析、

四利用两个更要极限

例 4

.

而 lim,~ y~ O 0 .:

1

x 2x

lI!=

lim三些塑工

Z

洲州 鳃

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一,一万十男Zy劣2+

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Sln xy X·

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,

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O 0

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y~ 4= 1x 4= 4例 5解:…

臀卿x=计算 lim一 y~ 11 x (名+ l

与杀 X

.七化为极坐标, x一a 2十 y一的函数作坐标变对含有 ( ) ( ) b J一 a十 r o3+ c V X 0 b (0‘ 8‘ 2二 )换 s r i胡 im x lim f(a+ reose有 l f(,, y=, ) b+ r s i n 6 )x~ y~ 0 0

r~

o+

lim‘~ O

+ ( l

例 8

-兰且 lim0 x一义十y~ l

解y

x Z了2计算 lim% 2+ y 2 y~ 0 x= reoso二 r in o s设, y, y~ 0

, V‘ . S

:

0

‘O‘ 2

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…

l im

+ (1

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,

户。

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i

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二又 y~ o j+ y

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二

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。

r o+~= 0 .

lim

Z r

sin Z

co Z日 s日

.五分子分母有理化 . i例 6计算 lm x了+ y~ 0丫X y

.八利用变最代换化为一元函数的极限,

Xyl一 l

作适当的变换在点 P x (限, y )

x

“? (t)

y二

(使二元函数 f伞 (t)

x

, y )

:解 lim皿~ y~ O 0

办

y+ l一

的极限化为一元函数在点 P t的极 ( )十, )

l

=

.,例 9计算 lim (二解:设 ty~+ .二

,

。

一

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二”

11爪 x 0一 y冲0 lim y一 0 (

时

, t~ o 0

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x+ a o尹则当~,

, y~

+

O a

.六利用夹逼准则

lim工~」卜十 .

’+

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, )

。

一

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)

若 g (P )‘ f ( P )‘ h ( P.

)=

y~

+ .一‘爪 te

=则 lim f( P ) Ap~ p o

P且 lim g‘ )= lim h (P ) p一 p。 P~ 0 P

二 A=

1 1 t

一l

+

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‘ m

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例 7

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一 y

解

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y,2{x

~

0

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.: 0

x Z了

}劣+ y Z x y l .~} x

.九化为累次极限定理:若 lim f(:和 lim lim f ( x x a, y )

“ t+.弄~ e=0

m

y ) (

1 X I一 2

牛F卜一X

万

1

5

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(

x

, y ) )

十 y

x都存在则 lim f( y )=二二忿,

y~ b

一

,

一b

im或 lima l f x y~ b~, y ) (

(处辣‘

x

或

伙

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杨雪宏等二重极限求法探析

:

lim f( x

, y ) )

.

解=

: lim ( x,y~ 0 l im男~ O

+

)

, )

”

利用上述定理可将二重极限化为累次极限

l imy~ 0

计算

。

(

x

’+

少,

’y

)

但需注意只有在二重极限存在的条件下。

才是容许的,

否则即使两个累次极限都存在。。

,

,.

=

l i m x~ 0

l

而二重极限也不一定存在

若两个累次极限都”)

二

1,

不存在不能使用此方法 . x,例 1已知 A= lim (+ y 0 x~ 0 y~ 0,

从上述几个例题可看出一元函数极限的一存在求 A,。

些计算方法可以移到二重极限中使用但需注意的是二重极限中洛必塔法则不能使用。

,

(

上接 9 3页 )(比如说第 N项 )使得数列{x从这。}

}

一项开始以后的每一项与 A的距离小于。即 I x一A<。}如果存在为个 N这个数列的极限,。

粤

一

。}

一一

nZ l即n一<e>

。

,

只要上<指

箱一1

就存在

。

至此可以引出数列极限的数学定义 x定义 2对于数列}如果对于任意给定。

,

。

取 N是大于

,

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的屯一个正整数。

。

当

。

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N

时

,

}

不管它多么小 )总存在一个正整数 N n x一A<。使得当> N时恒有}} x n则常

数 A叫做数列当趋于无穷时的极的正数。,,

就有

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即

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