三维Julia集的控制

2 0 o 9年

工程图学学报J OURNAL OF ENG I NEERI NG G RAPHI CS

2 0 0 9No . 3

第 3期

三维 J u l i a集的控制叶瑞松， 马元林(汕头大学数学系，广东汕头 5 1 5 0 6 3 )

摘

要：通过对四元数动力系统的状态变量作矩阵变换，实现了系统所生成的

三维 J u l i a集的整体缩放、沿坐标轴的放大、缩小以及错切旋转等仿射变换，并从理论上证明了通过变换后的动力系统的 J u l i a集的拓扑性质并没有发生变化。该方法克服了 对图像仿射变换所产生的图像分辨率降低的缺点，对生成高分辨率图像提供了简便可靠的方法。

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词：计算机应用；J u l i a集的控制；四元数；动力系统文章编号：1 0 0 3— 0 1 5 8 ( 2 0 0 9 ) 0 3— 0 1 5 4 . 0 7

中图分类号：T P 3 9 1文献标识码：A

Co n t r o l o f 3 D J u l i a S e t sYE Ru i— s o n g, M A Yua n— l i n( De p a r t me n t o fMa t h e ma t i c s, S h a n t o uUn i v e r s i t y, S h a n t o uGu a n g d o n g 51 5 0 6 3, Ch i n a)

Ab s t r a c t: P r o p e r ma t i r x t r a n s f o r ma t i o n s a l ' e a p p l i e d t o q u a t e r n i o n d y n a mi c a l s y s t e ms . T h ewh o l e ma g n i ic f a t i o n, mi ni f i c a t i o n, e x t e n s i o n a l o n g t h e a x e s a n d t h e g e n e r a l a fi n e t r a n s f o m a r t i o n s i nc l u di ng s he e in r g a n d r o t a t i o n a l t r a ns f o r ma t i o n o f 3 D J u l i a s e t s ge n e r a t e d b y t h e q u a t e r ni o n d y n a mi c a l s y s t e ms a r e r e a l i z e d. I t i s a l s o s ho wn t ha t he t

J u l i a s e t s o f t h e t r a ns f o r me d d y n a mi c a ls ys t e ms p r e s e r v e t h e s a me t op o l o g i c a l p r op e r t i e s .Th e pr o p os e d me t h o d s o l v e s t h e di s a dv a n t a g e

o f i ma g e r e s o l u t i o n d e c r e a s e a n d p r o v i d e s a s i mp l e a n d r e l i a b l e a p p r o a c h t o g e n e r a t e h i g hr e s ol ut i on i ma g e .

Ke y wo r ds: c o mp ut e r a p p l i c a t i o n; c on t r o l o f J ul i a s e t; q ua t e r ni on; dy n a mi c a l s y s t e m

众所周知，对于给定的复数 C,在复平面上

动力系统的二维分形集的画法和性质的研究上 J。本文将考虑通过对哈密顿四元数动力系统

对动力系统 Z =f( z , c )进行迭代以后可以生成漂亮的分形集，不同的 C值将产生不同形状的分形集，它向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们探索分形几何固有的新

Z =f ( z , c )的状态变量 Z做矩阵变换，实现该系统对应的三维 J u l i a集整体的放大缩小、延

着坐标轴伸展收缩以及错切、旋转等更一般的仿射变换。从理论上证明了通过这些变换后的 J u l i a

规律和新特征…。目前大多数文献着重于各种复

收稿日期：2 0 0 7— 1 0 - 0 1 基金项目：国家自然科学基金资助项目 ( A 0 3 2 4 6 4 9 ) 作者简介：叶瑞松 ( 1 9 6 8一 ),男，福建诏安人，教授，博士，主要研究方向为分形混沌及其应用，图像处理。

第 3期

叶瑞松等：三维 J u 1 i a集的控制

‘ 1 5 5

集的拓扑性质并没有发生变化，从而实现对三维J u l i a集图像的仿射变换。文献【 4】首先提出对二维 J u l i a集控制的思想并用比较复杂的方法证明了简单的几类变换所实现的二维 J u l i a集的拓扑性

质不变性。 三维分形集的可视化已经有较多研究的文献【 5 . 1 0】,但是以往的文献并未从理论上

=一一 r j—s k,I z l =z=+ +, . +,z~:

I Z I

: T

( x -y i -r j -s k )I Z l

( 1 )…

2三维 J u l i a集的控制为了书写方便起见，在下文将四元数动力系

探讨动力系统做变换后所生成的分形集的拓扑性质变化问题。本文提出的三维 J u l i a集的控制方法与一般的图像的几何变换不同之处在于，一

统Z川=f ( z , c )在不引起混淆的情况下记为 Z州=f( z )。由 Z =f( z )迭代所生成的J u l i a集具有以下性质 I 4 j:

般图像的几何形变将使图像分辨率降低，甚至严重失真，而通过对生成这些分形图像的动力系统

的变换所实现的分形图像的几何变换将不存在分辨率损失的问题。可以改变动力系统的变换系

( 1 )设厂为复多项式厂的反函数，则f 的J u l i a集J ( f )为其周期排斥点集的闭包， J ( f )在厂和厂 的作用下保持不变；

数来得到任意分辨率的分形图像，因此本文的方法克服了一般的图像仿射变换的失真问题。本文的理论证明方法简单明了，该理论证明方法可以推广到一般的拓扑变换上，克服了文献【 4]的证明方法的繁杂和不实用的缺点。

( 2 )如果 Z∈ J( f),贝 0 J(,)是u 1 f ( Z )的闭包，且对任意正整数 P, J ( f )=J ( f );( 3 )J u l i a集是每个吸引域的边界，对任意

的正整数 P有 J ( f )=J ( f )。

1 四元数四元数由英国数学家哈密顿于 1 8 4 3年首先提出，目的是为空间几何的研究寻找合适的复数方法。 2 0世纪中叶以来，由于近代科学技术的发展，四元数作为有效的数学工具逐渐为人们所重

下面对四元数动力系统 z =f ( z )做适当的变换，目的是讨论变换后的动力系统生成的 J u l i a集具有与原动力系统的 J u l i a集相同的拓扑性质，实现分形集整体放大缩小以及沿坐标轴的伸展等变换。 2 . 1 J u l i a

集的整体缩放变换关于整体放大缩小，有下面的定理。

视，并且在理论上获得巨大发展。作为平面复数的一种自然延伸，它具有一个实数元素和 3个与虚数相关的元素，通常定义为 Z=+y i十一- t - s k,

定理 1对于某一个四元数的多项式厂 (,如果 P属于其 J u l i a集，t≠0是一个实数，则1

或者写为 Z=( X, Y,, ., ),其中X, Y,, ., S∈R,并且各个虚基向量之间满足如下的运算关系【 9

是四元数多项式 g ( w )=矿(二 W )的J u l i a集上的f

i i=J J=k k=一 l, i j=- j i=k,j k=一 k i=i, k i=- i k=j两个四元数 Z。和Z .相加和相乘分别为

点。1 1

证明 ( 1 )由g ( =矿f1

,令Ⅵ厂= w,r

z J+=, ) 1,, i, )+, Y 2, r 2, )=+x 2, - I - Y z,+ r 2,+ )

则可以得到 f( w )=二 g ( t w" )。 假设 P属于f

f( w )的J u l i a集，即 P是 f ( w )的n周期排斥点，, z≥1,则1

×

, Y l,, )×, y 2,, )一

y 2一 一 , y 2+ ) 1+r y 2 - r 2 s￣,

P=f ( )=f ( ( p ) )=f (二 g ( ) )=f1 1

+ x z r l+y￣ s 2一y 2, + +y￣ r 2一y 2 )

四元数满足乘法对加法的左右分配律但是没有

, ( g ( ) )=… = g ( )f

乘法交换律，以下的四元数的性质对计算是有用的

即t p=g ( ),所以 是函数 g ( w)的 n周期

工程点。

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( 2 ) Ti￣t p是 g ( w1的 n周期排斥点。假

设 P是+ 1=, ( )的 n周期排斥点，则

P= f ( P),且有 …… 此处隐藏：9364字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……