第十三章 虚位移原理

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第十三章 虚位移原理

第十三章第一节 第二节

虚位移原理基本概念 虚位移原理及其应用

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第十三章 虚位移原理

虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研 究静力学平衡问题的另一途径。

第一节一、约束及分类

基本概念

约束：限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。

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第十三章 虚位移原理

(1)几何约束和运动约束 几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。 如图1所示的平面单摆，其约束方程可表示为x

o

x y2

2

l

2

A( x, y )

y

图1

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又如图2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为y

(xB xA ) ( yB y A ) b2 2

2

A( x A , y A )

a

xbx

2 A

y

2 A

a

2

O

yB 0

图2

B ( xB , yB )

运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图3所示。

理论力学电子教程y

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其几何约束为 yo ro vo

运动约束为xvo r 0 ( xo r 0)

r图3

(2)定常约束和非定常约束定常约束：约束条件不随时间改变的约束。如图1、2、 3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约束。

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非定常约束：约束条件随时间而改变的约束。如图4所 示，重物M 由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长 为 l 0 ,匀速 v 拉动绳子。其约束方程为ol

x

x y2

2

( l 0 vt )

2

v

M ( x, y )

方程中显含时间 t ,此约束为 非定常约束。

y图4

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(3)单侧约束和双侧的约束 单侧约束(单面约束):只能限制质点或质点系单一 方向运动的约束。如图5所示。o x 绳

其约束方程为

x y2

2

l

2

y图5

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双侧约束(双面约束):在两个相对的方向上同时对 质点和质点系进行运动限制的约束。如图6所示，其约束方 程为o 刚杆

x

x y l2 2

2

y图6

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(4)完整约束和非完整约束完整约束：这类约束的约束方程中不包含坐标对时间的 导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形式。如图3中， 运动约束方程 x 0 r 0 虽是微分形式，但可以积分为有限形 式，故为完整约束。

非完整约束：这类约束的约束方程中包含坐标对时间的 导数(如运动约束),且方程不可积分为有限形式。 本章只讨论定常的双面几何约束。

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三、自由度与广义坐标

一个自由质点在空间的位置：( x, y, z )

3个

一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个

对一个非自由质点系，受s个完整约束，则有(3n-s )个独立坐标。其自由度为 k=3n-s 。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。

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例如，前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，因此有一个 自由度。y

A( x A , y A )

a

bO

x

图2

B ( xB , yB )

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一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为

k 3n s

通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置， 用适当选择的k 个参数(相互独立),要比用3n个直角坐标

和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数， 称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移 (x, y, z, s 等)也可以取角位移(如 , , , 等)。在完整 约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

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例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角 为广义坐 标，则：x A a cos x B a cos , y A a sin b a sin 2 2 2

, yB 0

y

广义坐标选定后，质 点系中每一质点的直角坐 标都可表示为广义坐标的 函数。

A( x A , y A )

aO

bx

图2

B ( xB , yB )

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讨论 双锤摆。设只在铅直平面内摆动。问有几个自由度？ 【分析】( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) x1 y1 a 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 b 22 2

故有两个自由度，取广义坐标

, 。可写出x 1 a sin , y 1 a cos x 2 a sin b sin , y 2 a cos b cos

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三、虚位移 虚位移：在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质 点发生的为约束允许的任意的无限小位移。如图7所示，可 设想质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移 r 。M

z

r

rA

ry

A

B rB

x

图7

图8

虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符 号 来表示。如图8中的 、 r A 和 r B 。

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第十三章 虚位移原理

虚位移与实位移是不同的概念。

(1)实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 (2)实位移具有确

定的方向，可能是微小值，也可能 是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不 同的方向。 (3)实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯 几何的概念，完全与时间无关。