广工高数下期中考试(11-12)试卷及解答

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5. 设函数 f ( x, y) x 2 xy y 2 ,则 f ( x , y ) 在点 (1,1) 处沿变化率最大方向的方向导数为

2

。

二、单选题： (每题 4 分,共 20 分)

x2 y2 1.函数 f ( x , y ) x 4 y 4 0 (A)连续但不可微； (C)可导但不可微；

( x , y ) (0,0) ( x , y) (0,0)

在点(0,0)处：

(B)可微； (D)既不连续又不可导。

答： C ) (

2 . 设 函 数 F ( u, v ) 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 Fu (0,1) 2, Fv (0,1) 3 , 则 曲 面

F ( x y z, xy yz zx) 0 在点 (2,1, 1) 处的切平面方程为 (A) 2 x y z 6 0 (B) 2 x 11y z 8 0 (C) 2 x y z 8 0 (D) 2 x 11y z 6 0 答： (D3 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分

)

可交换积分次序为 ( A )

4 . 设 f ( x, y) 为 连 续 函 数 ， 且 f ( x, y ) xy

f (u, v)dudv , 其 中 D 是 由D

y 0, y x2 , x 1围成的区域，则 z f ( x, y) 等于( C(A) xy (B) 2xy (C) xy

)

1 8

(D) xy 1

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解：设 f(x,y)dxdy A，则A

D

xydxdy

D

A dxdy

D

A

10

dx

x0

2

xydy

13

A A 18

18

从而 f(x,y) xy

5.设f(u,v)具有连续偏导，且f(x,x2) x4 2x3 x，f1 (x,x2) 2x2 2x 1，则f2 (x,x2) （ Ａ ） （A）2x2 2x 1 （B）2x2 3x

12x

（C）2x2 2x 1 （D）2x2 3x 1

三、求解下列各题（每题6分，共24分） 1 求极限lim(x y)

x 0y 0

2

2

xy

2

2

解(x y)

22xy

22

(x y)

22x y

22

xy

2

222

x y

1

lnxlix 0 1

lim

x 0

x e lim

x 0

x

x

e

x

1x

2

1

又 0

xy

22

22

x y

xyx

2

22

y

22

2

0，（当x 0,y 0时）

所以lim

xy

2

2

x 0y 0

x y

2

0

lim x y

2

x 0y 0

xy

22

1 1

2

2．已知z f(xy,

x

) g()，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求．

x yyx

z x y

2

y z

导数，g具有二阶连续导数，求．

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解:

z x y

2

z x

f1 y f2 1y

2

1y

g .(

xy

3

yx

2

)

1x

2

f1 f2 xyf11

f22

g

yx

3

g ．

3 设u f(x,y,z), (x2,ey,z) 0,y sinx，其中f, 有一阶连续偏导数，且

dudx

dydx

z

0，求

dudx

。

f x

fdy ydx

fdz zdx

cosx

dzdxdudx

1 3

2x

f y

1

ecosx 2

y

1

f x

cosx

f1

z 3

2x

e

sixn

cosx 2

四、计算下列各题（每题7分，共28分）

１．计算 x

D

2

，其中Ｄ是由曲线y x.y 1及x 0所围成的区域

解: x

D10

2

10

xdx

10

y

2

:

13

y

3

112

4

12123

3

(1 y)2

4

1

118

1)

2计算二重积分

22

其中D：1≤x+y≤4,y≥0,y≤x.

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y2 2z

３．设 是曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z 8围成的空间区域，求

x 0I

(x y)dv。

22

解： 由x2 y2 2z与 z 8所围成，在柱坐标系下

：0 2 ,0 4,

2

2

z 8

I

2 0

d d 2 dz

2

48

2

＝

10243

七、试证当 2时，函数f(x, y) (ey 1)sinx cosxcos2y在原点有极小值。

y

证明、令fx(x,y) (e 1)cosx sinxcos2y 0

fy(x,y) esinx 2cosxsin2y 0 显然(0,0)为驻点

y

又 fxx(x,y) (e 1)sinx cosxcos2y fxy(x,y) ecosx 2sinxsin2y

y

y

fyy(x,y) esinx 4cosxcos2y

y

在(0,0)处，A 1B C 4 AC B

2

4

2

2

当 2，AC B 0 ，所以函数f(x,y)在原点有级小值。

222

六、解：设曲面上点(x,y,z)到xoy面的距离为z，则问题等价于求函数H z2 在条件x y 2z 0与

x y 3z 5 0下的最大值和最小值点。

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令 L(x,y,z, , ) z2 (x2 y2 2z2) (x y 3z 5) Lx 2 x 0

Ly 2 y 0

由 Lz 2z 4 z 3 0得x y， L x2 y2 2z2 0

L x y 3z 5 0

x 5 x 1

从而得 y 5或 y 1

z 5 z 1

由几何意义，在C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故点( 5, 5,5)和(1,1,1)即为所求的点。

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