2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及答案

1 2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）

深圳中学 邹新宇

1、假定正整数N 的8进制表示为8)43211234567765(=N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ）

A 、N 能被7整除而不能被9整除

B 、N 能被9整除而不能被7整除

C 、N 不能被7整除也不能被9整除

D 、N 既能被7整除也能被9整除

2、已知数列{}n a 满足)(,2007,2000*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,则2007a 等于（ ） A 、2007 B 、-2007 C 、7 D 、-7

3、在12)2(++

n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ） A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+?n ； D 、)13(2

112++n 4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<

4543,a a a a <<的排列个数是（ ）

A 、10；

B 、12；

C 、14；

D 、16.

5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2

221-+=-+= 323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围 是（ ）

A 、283-≤≥m m 或

B 、2

31-≤-≥m m 或 C 、R m ∈ D 、以上均不正确

6、若关于x 的不等式032<+-x x ae e 有实数解，则a 的取值范围是（ ）

A 、()32,-∞-

B 、()32,∞-

C 、()32,32-

D 、),32(+∞

2 二、填空题

7、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A

____________________．

8、在三角形ABC 中，已知三个内角A 、B 、C 成等差数列，设他们所对的边分别是a 、b 、c ，

并且a c -等于AC 边上的高h ，则=-2

sin

A C ____________________． 9、斜率为1的直线与椭圆22

14y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．

10、已知当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 2

2>-+--θθx x x x 恒成立，其中πθ20≤≤，则θ的取值范围是____________________．

11、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）

12、一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是____________________．

三、解答题

13、在实数范围内解方程1)34(22

3+=-x x x

14、设+∈R x x x n ,,21，定义 ∑=???? ??-+=n i i i n x n n x S 12

211， 1）求n S 的最小值；

2）在122221=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值；

3）在121=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值，

并加以证明。

3 15、设椭圆的方程为 22

221(0)x y a b a b

+=>>,

线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直

的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 PQR ? 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率

2007年数学奥林匹克协作体试题（一）

2007-07-30

1、 求所有具有下面性质的正整数n ：若a 、b 为正整数，且12+b a n ，则一定有b a n +2。

2、 在三角形ABC 中，C B ∠∠,为锐角，M 、N 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，满足

DC BD AN AM ==,。若CDN BDM ∠=∠。求证：AC AB =。

3、 在一条长为36厘米的直尺上刻n 条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量[]36,1中的

任意整数厘米的长度。试求n 的最小值。

2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）答案

深圳中学 邹新宇

一、选择题：

1、D

由于)7(mod 18≡，所以)7(m od 18≡i

4 ()∑∑==-≡==k i k

i i i

i k k a a a a a a N 008011)7(mod 8 即，N 能被7整除?N 的8进制表示下各位数字之和能被7整除。

类似的，N 能被9整除?N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被9

整除

2、C

提示：

2007,2000,7,2007,2000,7,2007,200087654321==-=-=-====a a a a a a a a 由此推得：n n a a =+6,{}n a 是以6为周期的数列。

732007==∴a a

3、D 提示：r r n r

n r x C T 2212121?=-+++.由于x 的幂指数应为整数,因此,r 为奇数. 记

+?+?+?=+++55123312112222n n n C C C S …+1212122+++?n n n C .

由于 +?+?+=+++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122

+++?n n n C , -?+?-=-++++21121120121222)21(n n n n C C C … -1212122

+++?n n n C , 因此,将以上两式相减,即可得到

)13(2

112+=

+n S . 4、D

提示：由已知条件知只可能 52=a 或54=a ，且3,3,3342≤≥≥a a a .

(1) 当52=a 时,则34=a 或4

当34=a 时,有2!=2种排列:当44=a 时,有3!=6种排列,即共有8种排列.

同理,当52=a 时,也有8种排列. 故应选 D .

5、B

提示：原命题可变为，求方程：m mx x mx 4532-+=-，

5 3)12(322-+-+=-m x m x mx ，32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，使得所求.即变为解不等式组

??

???<--<--<+--,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222m m m m m m

得 123-<<-m ，故符合条件的m 取值范围是2

3-≤m 或1-≥m ， 应选 B .

6、B

原不等式可化为32+>x x e

ae ，由0>x e ，可得x x e e a 3+> 而32323=?≥+x x x x e

e e e 。 故a 的取值范围是()32,∞-

二：填空题

7、{}2,1-=B A

由φ≠B A 可得1=a

8、2

1 提示:∵C

h A h a c h sin sin -=

-= 即C A A C sin sin sin sin ?=-

由条件知?=+120C A 根据上式()[]?--=?-120cos cos 21120cos 2sin 2A C A C 即0432sin 2sin 2=--+??? ?

?-A C A C 解得：2

32sin ,212sin

-=-=-A C A C （舍） 9、轨迹是：2)(5324x y y x --=+ )5(<-x y

6 提示：设动点为),(y x P ''，则过P

)(x y x y '-'+=.

代入椭圆方程142

2

=+y x , 整理得： 04)()(252

2=-'-'+'-'+x y x x y x (※)

若直线l 椭圆交于),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <，则21,x x 是方程(※)的

两个根, 且 5

)(52)(2

1x y x y x '-'--'-'-= ① 5

)(52)(2

2x y x y x '-'-+'-'-= ② 又∵2=PB

AP ， 21x x <. ∴3221

x x x +='. 将①、②代入并整理得：

2)(5324x y y x '-'-=

'+' （5<'-'x y ） 10、12512πθπ

<

< 设θθsin )1()1(cos )(22x x x x x f -+--=…… 此处隐藏：5781字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……