2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(一)新人教A版必修5

2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案（一）新人教A版必修5

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a，CA b，AB c，那么c a

b，则 b c c c a-b a-b a a b b 2a b a b 2a ba222

从而 c2 a2 b2 2abcosC (图1．1-5)

同理可证 a2 b2 c2 2bccosA

b2 a2 c2 2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2 b2 c2 2bccosA；b2 a2 c2 2accosB；c2 a2 b2 2abcosC。 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2 c2 a2

cosA a2 c2 b2

cosB b2 a2 c2

cosC 2ba

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

③若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2；若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2；若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）

若 ABC中，C=900，则cosC 0，这时c2 a2 b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在 ABC中，已知a cB 600，求b及A

⑴解：∵b2 a2 c2 2accosB

1

=2 2 2 cos450

=12 2 1)

=8

∴b

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵

cosA b2 c2 a21

,

∴A 600.

解法二：∵

sinA asinBsin450,

2.4 1.4

3.8,

2 1.8 3.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A 600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=5,A=300,解三角形。

例2．在 ABC中，已知a 134.6cm，b 87.8cm，c 161.7cm，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得： b2 c2 a2

cosA 2

87.82 161.72 134.6

0.5543,

A 56020 ； c2 a2

cosB b2

134.62 161.72 87.82

0.8398,

B 32053 ；

2

C 1800 (A B) 1800 (56020 32053)

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2::(+1),求A、B、C。

让学生板练，师生共同评判

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC

的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

Ⅲ.课堂练习 第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在 ABC中，若a2 b2 c2 bc，求角A（答案：A=1200）

Ⅳ.课时小结

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

（3）运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

Ⅴ.课后作业

①课后阅读：课本第9页[探究与发现]

②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。

●板书设计

（七）教学反思： 本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

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