A7.行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题

行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题

行波法求解一维波动方程的两个基本公式：

1.达朗贝尔（d'Alembert）公式：

u(x,t)

2.Kirchhoff公式：

11x at( (x at) (x at)) ( )d ； x at22a

11x at1tx a(t )

u(x,t) ( (x at) (x at)) ( )d f( , )d d

22ax at2a0x a(t )

半无界弦的振动问题

对于半无界域上波动方程初值问题的讨论，需要根据端点所处的物理状态不同分别加以讨论。 1. 端点固定

（1）齐次端点条件 考虑定解问题

utt a2uxx f(x,t),0 x ,t 0,

u(x,0) (x),ut(x,0) (x),0 x ,

u(0,t) 0t 0.

求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数f, , ,使其在 x 0也有定义，这样把半无界区域

0 x 上的问题转变为 x 上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式，求出在 x 上的解

u(x,t)。同时使此解u(x,t)满足u(0,t) 0。这样当x限制在0 x 上就是我们所要求的半无界区域0 x

上的解。

由微积分知识可知，如果一个连续可微函数g(x)在( , )上是奇函数，则必有g(0) 0。因此，要使解

u u(x,t)满足u(0,t) 0，只要u(x,t)是x的奇函数便可。因此对函数f, 和 关于x作奇延拓。我们定义F(x,t), (x)和 (x)如下：

(x),x 0, (x),x 0, f(x,t),x 0,t 0,

(x) (x) F(x,t)

( x),x 0. ( x),x 0. f( x,t),x 0,t 0.

显然函数F(x,t), (x)和 (x)在 x 上是奇函数。然后考虑初值问题

Utt a2Uxx F(x,t), x ,t 0,

U(x,0) (x),Ut(x,0) (x), x .

由Krichhoff公式，上述初值问题的解为

11x at1tx a(t )

U(x,t) ( (x at) (x at)) ( )d F( , )d d x at0x a(t )22a2a

所以原定解问题的解u(x,t)就是U(x,t)在0 x ,t 0上的限制。于是

当x at时

11x at1tx a(t )

u(x,t) ( (x at) (x at)) ( )d f( , )d d

22a x at2a0x a(t )

当0 x at时，

u(x,t)

11( (x at) (at x)) 22a

x at

at x

( )d

x

x a(t )tx a(t ) 1 t a

f( , )d d x f( , )d d t x a(t )2a 0 a(t ) xa

例题1.

0 x ,t 0, utt uxx x,

2

求定解问题 u(x,0) 0,ut(x,0) x,0 x ,

u(0,t) 0,t 0.

解：

该题中a 1,把 (x) 0, (x) x2,f(x,t) x奇延拓到( ,0),即定义

x,x 0,t 0,

(x) 0, (x) x,F(x,t)

x,x 0,t 0.

2

所以根据公式 1）当0 x t时

11x at1tx a(t )

u(x,t) ( (x at) (x at)) ( )d f( , )d d

22ax at2a0x a(t )

1x t21t xx (t )1tx (t )

0 d d d d d

2t x20(t ) x2t xx (t )

1 36

x tt x

1t x12

022

1t12

d

t x22(t ) x

x (t )x (t )

d

x (t )

t x132

x tx 2

03

31 t2x x323

x (t )(t ) x

t1t x

(t )x d (t )

t x20

2）当x t时

11x at1tx a(t )

u(x,t) ( (x at) (x at)) ( )d f( , )d d

x at0x a(t )22a2a

1x t1tx (t )

0 2d d d

x t0x (t )221x t1t

3 4x(t )d 6x t20

11 x2t t3 xt2 t2x

3211 x2t t3 t2x

32

（2）非齐次端点条件

如果定解问题（1）的端点条件为:u(0,t)

u(t)，即：

utt a2uxx f(x,t),0 x ,t 0,

u(x,t) (x),ut(x,0) (x),0 x ,

u(0,t) u(t),t 0.

解法一：

将其端点条件转化为其次形式： 令 V（x,t）=u(x,t)-u(t), 那么

vtt a2Vxx f(x,t),0 x ,t 0,

V V(x,t)满足 vtt (x),vt(x,0) (x),0 x ,

v(0,t) 0,t 0.

求解.

其中f(x,t) f(x,t) u(t) 解法二：

设u(x,t) v(x,t) w(x,t),其中v(x,t)，w(x,t)分别满足：

''

vtt a2vxx,

vt 0 (x),vt v 0, x 0

0 x ,t 0,

t 0

(x),0 x ,

t 0.

wtt a2wxx,0 x ,t 0,

及 wt 0 wtt 0 0,0 x , w u(t),t 0. x 0

对于v(x,t),可按端点的半无界问题求解，对于w(x,t)的半无界问题，由给出的定结条件知，此弦振动是单纯由端点的振动规律引起的因此，在x 0部分，弦振动应按右行波传播，故可设解w(x,t) F(x at)这里F是任意可微函数，代入边界条件得wx 0 u(t) F( at),t 0. 若令z at,得F(z) u( ),z 0.于是得到w(x,t) u(

z

ax atxx

) u(t ),t aaa

xx

u(t ),t , aa 于是得解w(x,t)

x

0,t .

a

所以将v(x,t)与w(x,t)相加.

x at

11x[ (x at) (x at)] ( )d ,t , 2ax ata 2

所以u(x,t) at x

11xx [ (x at) (at x)] ( )d u(t ),t . 22aaaat x

例题2.

utt a2uxx (x t),0 x ,t 0

u(x,0) sinx,ut(x,0) 1 cosx,0 x u(0,t) 0,t 0

解： (x) sinx (x) 1 cosx f(x,t)=(x t) 所以根据公式

1）当0 x at时

11at x1t x a(t )1tx a(t )

u(x,t) (x at) (x at) ( )d a f( , )d d x f( , )d d

at x0a(t ) xt x a(t )22a2a2aa

11at x1t x a(t )1tx a(t )

sin(x at) sin(x at) (1 cos )d a ( )d d x ( )d d

at x0a(t ) xt x a(t )22a2a2aa1x1

(1 )sinxcosat 3(x3 3ax2t 3a3xt 3a2xt2)

aa6a

2）当x at时

x

x

11x at1x a(t )

u(x,t) (x at) (x at) ( )d f( , )d d

22ax at2ax a(t )

113t3

sinxcosat t sinatcosx xt

a26

例题3

utt uxx,

解下列问题的初边值问题： ut 0 x,ut

u t2, x 0

解：

解法一：

t 0

0 x ,t 0,

0,0 x ,

t 0.

令v(x,t) u(x,t) t2( (x) x, (x) x,p(t) t2,a 1)则：

0 x ,t 0, vtt vxx 2,

v(x,0) x,vt(x,0) 0,0 x ,

v(0,t) 0,t 0.

① 当x t时：

v(x,t)

11x at1tx a(t )(x at) (x at) ( )d f( , )d d

x at0x a(t )22a2a

11tx a(t ) (x at) (x at) 0 2d d

0x a(t )22

x t2

②当0 x t时：

x

x a(t )tx a(t ) 11x at1 t a

v(x,t) (x at) (at x) ( )d f( , )d d f( , )d d a

22aat x2a 0a(t ) xt xx a(t )

x 12[ t x0 x a(t )(t ) x

2d d tx (t )t x x (t ) 2d d ]

x 1

( 4tx 4x2 2x22

)

x x2 2tx

u(x,t) v(x,t) p(t) x x2 2tx t2=x (x t)2

解法二：

1）当t x

a(即t x时） u(x,t) 11x 2[ (x at) (x at)] at

2a x at ( )d x

2）当t>x

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