《三角函数的图像性质》

《三角函数的图像性质》

《三角函数的图像性质》

1.4.1 正弦和余弦函数的图象

y sin x, x 0,2

xy

(1).列表求值 2 5 0 6 3 2 3 6

0

7 4 3 5 11 6 3 2 3 6

2

0

1 2

3 2

1

3 2

1 2

1 3 2 2

1

3 1 2 2

0

(2).描点y10 1-

(3).连线

2-

3 2-

2

x

-

-

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思考:如果不取近似值,能不能把sin 有无其他表示方法?

3 3 2

表示出来? 正弦函数除了可以用数字表示，

三角函数线(有向线段)

三角函数线动画 下一步

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π π 3 π x 时 ， sin 还可以用 所对的正弦线表示 3 3 2 3 π 3 3 π 在 描 点 ( , ) 时 ，纵 坐 标 可以用 的正弦线度 3 2 2 3

y

P

1

C(

3

, sin

3)

x

M

O-1

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正弦函数.余弦函数的图象和性质利用三角函数线 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线p1/-

1P 1 6

(3) 平移 (4) 连线 2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o-1 -

6

3

2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

x

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1.4.1 正弦和余弦函数的图象

y sin x, x R正弦曲 线-4 -3 -2 -

y1

问题：怎么在整个定 义域 R范围作出正弦 函数的图象呢？

o-1

2

3

4

5

6

x

sin( x 2k ) sin x,k Z因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在

4 , 2 , 2 ,0 , 0,2 , 2 ,4 ,

与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同

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最简描点法

——五点(画图)法

问题：图象中的关键点有哪些？ 图象的最高点( 图象的最低点( 3 2,2

,1)

与x轴的交点(0,0)

1)

( ,0) (2 ,0)

(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点 )

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用五点法作正弦函数的简图(描点法) 只要这五个点描出后，图象的形状就基 本确定了.因此在精确度不太高时，常采用 五点法作正弦函数的简图 在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的 区间上函数变化情况，在 x 0, ,2 附近函数 3 x 增加或下降快一些,曲线“陡”一些,在 , 2 2 附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”, 这种作图法叫做五点法。

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正弦函数的“五点画图法”xsinx y 1● ●

0 0

2

0

3 2

2 0

1

-1

0

2

●

3 2●

●

2

x

-1

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余弦函数y cos x的图象y1 -4 -3 -2 -

o-1

2

3

4

5

6

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x R2

正弦曲线 形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象 y1 -4 -3 -2 -

余弦曲线 2 3 4 5 6

o-1

x

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y

y cos x-

x [0, 2 ]

1-

-1

o-1 -

6

3

2

2 3

5 6

在函数 y cos

x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (0,1) (2 ,1) 最低点：

( , 1) 2 , 0)3 ( , 0) 2

与x轴的交点： (

-

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

x

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y sin x , x 0,2 (2 图象的最高点 ,1)

与x轴的交点 (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) ( 图象的最低点 32 , 1)y cosx , x 0,2

图象的最高点 ( 0,1)( 2 ,1) 与x轴的交点 ( ,0) ( 32 ,0) 2 图象的最低点( , 1)

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例1 画出函数 y=1+sinx,x [0, 2 ]的简图. 解: x sinx1+sinx y 2 0 1

按五个关键点列表求值0 2

0 2 1

3 2

2 0 0 1

1

-1

1

y=1+sinx,x [0, 2 ] 2

2

o

y=sinx,x [0, 2 ] 1 注：函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象可由

3 2

2

步骤： 1.列表 2.描点 3.连线 x

函数y=sinx ,x∈[0,2π]图象向上平移一个单位得到。

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例2 作出函数 y= -cosx,x∈[0,2π]的简图.

解:

按五个关键点列表求值01 -1 2

描点连线y1 2π 0

xcos x cos x

00

3 2

2 1 -1

y cos x 2π

-11

00

-1

y cos x

3 2

x

注：函数 y=-cosx ,x∈[0,2π]的图象与函数 y=cosx ,x∈[0,2π]图象关于x轴对称.

小结：1. “五点法”画正、余弦函数的简图，要牢记 五个关键点的选取特点。 2.图象的平移或对称变换是函数图象已知与未 知之间化归转化的重要思想方法,必须深刻领会。

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