直线与圆锥曲线的关系经典例题讲解

直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）

2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————． 利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆

x2y2

1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为a2b2

x12y12

1 a2b2

两式相减可得AB的中点，则 22

x2 y2 1 a2b2

即 ．

对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．

y1 y2y1 y2b2

2

x1 x2x1 x2a

例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x－y＝1相交于A、B两点．

(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？

(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立

2

22

1y  y ax消去 3x y 1

2

2

(3－a)x－2ax－2＝0 ①

22

显然a≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：

4a2 8(3 a2) 0 6 a 6

2

0 a 3或a 2 a 3

a∈(－6，－3)∪(3，)

若A、B分别在双曲线的两支上，则有：

4a2 8(3 a2) 0

a∈(－，3) 2

0 2

a 3

(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝

2a

，3 a2

x1x2＝

2a

． a 3

2

2

∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋ax1x2＋1＝a·

2

22a

＋a·＋1＝1 a 33 a2

2

∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴此时△＞0，符合要求．

2

＋1 a＝±1 a 3

2

变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解：联立方程为

y (a 1)x 1

2

y ax

2

x 1

y0

(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时，消去x得① 若② 若得1＋

a 12

y y 1 0 a

x 1a 1

＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解

y1 a a 1

≠0，即a≠－1，令△＝0 a

44(a 1)

0，解得a＝－ a5

4

5

此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．

例2. 已知双曲线方程2x－y＝2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；

使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？(2) 过点B(1,1)能否作直线l，

这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解：(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有关系x1 x2 4,y1 y2 2．又据对称性知x1 x2，所以

y1 y2

是中点弦P1P2所在直线的斜率，由P1、P2在双曲线上，则有关x1 x2

2

2

2222

系2x1 y1 2,2x2 y2 2．两式相减是：

2(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0

∴2 4(x1 x2) 2(y1 y2) 0 ∴

y1 y2

4 x1 x2

所求中点弦所在直线为y 1 4(x 2)，即4x y 7 0．

(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为y 1 2(x 1)，即2x y 1 0 方法同(1)，联立方程

2x2 y2 2

，消去y,得2x2 4x 3 0

2x y 1 0

然而方程的判别式 ( 4)2 4 2 3 8 0，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．

x2y2

1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） 变式训练2：若椭圆

369

A．2 B．－2 C． D．－ 解：D

例3. 在抛物线y＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 解法一：设B、C关于直线y kx 3对称，直线BC方程为x ky m，代入y2 4x得，

y2 4ky 4m 0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC中点M(x0,y0)，则y0

y1 y2

2k,x0 2k2 m 2

2

1312

∵点M(x0,y0)在直线l上，∴ 2k k(2k2 m) 3

k3 2k 32k3 2k 3(k 1)(k2 k 3)2

∴m ，代入 16k 16m 0，得 0，即 0

kkk

解得 1 k 0

2 y1 4x1

解法二：设B(x1,y1)，C(x2,y2)关于l对称，中点M(x0,y0)，则

2 y2 4x2

相减得：(y2 y2)(y1 y2) 4(x1 x2) ∴2y0 ( 4,y0 2k，则x0

1

k

2k 3

k

2

4x0 ∵M(x0,y0)在抛物线y2 4x内部，∴y0

化简而得

k3 2k 3(k 1)(k2 k 3)

0，即 0，解得 1 k 0． kk

2

变式训练3：设抛物线x 12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则AF BF

解：8 例4. 已知椭圆

x2a

2

y2＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)

． 且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）(1) 求t表示△ABC的面积S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t

)的最大值．

1

2

解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，

y t(x a)由 得(a2t2 1)y2 2aty 0 x22

2 y 1 a

x 

∴ y＝0或y＝

2at

at 1

22

∴ 点B的纵坐标为yB

2at

at 1

22

∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB ＝

2a2t

(t 0,a 1) a2t2 1

8t4t 11t

2

(2) 当a＝2时，S(t)＝＝

84t

t1t

∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥24t ＝4 当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立. ∴ S(t)＝

84t

t1t

12

12

≤＝2

84

即S(t)的最大值S(t)max＝2

x2y2

变式训练4：设椭圆C：2 2 1(a b 0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直

ab

于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

x y 5 0相切，求椭圆C的方程.

解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知 (c,b), (x0, b)

b2 FA AQ, cx0 b 0,x0 …2分

c

2

8b258

设P(x1,y1),由AP PQ，得x1 ,y1 b……

13c135

8b225

()(b)2

因为点P在椭圆上，所以 1…… 22

ab

1222

整理得2b=3ac，即2（a－c）=3ac，2e2 3e 2 0,故椭圆的离心率e＝2

b23

⑵由⑴ …… 此处隐藏：1875字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……