2019-2020年高中数学 第三章《空间向量的数量积》教案1 新人教A

2019-2020年高中数学 第三章《空间向量的数量积》教案1 新人教A 版

选修2-1

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

教学过程

学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有； 若，则称与互相垂直，记作：；

2．向量的模：

设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；

3．向量的数量积：

已知向量，则叫做的数量积，记作，即．

已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?．

4．空间向量数量积的性质：

（1）．

（2）．

（3）．

5．空间向量数量积运算律：

（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?．

（2）（交换律）．

（3）（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且

求证：．

证明：在内作不与重合的任一直线，

在上取非零向量，∵相交，

∴向量不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对，使，

∴，又∵，

∴，∴，∴，

所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．

例2．已知空间四边形中，，，求证：．

l m n m n g g l

证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ?=+?-

2

AB AC BD AC AB AB BD =?+?--?

()0AB AC AB BD AB DC =?--=?=．

（法二）选取一组基底，设，

∵，∴，即，

同理：，，

∴，

∴，∴，即．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。

解：∵，

∴OA BC OA AC OA AB ?=?-? ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =??<>-??<>

84cos13586cos12024162=??-??=

-

∴243cos ,855||||

OA BC OA BC OA BC ?--<>===??， 所以，与的夹角的余弦值为．

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！

五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。

六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。

七．作业：课本第106页第3、4题

补充：

1．已知向量，向量与的夹角都是，且，

试求：（1）；（2）；（3）．

2019-2020年高中数学 第三章《空间向量的数量积》教案2 新人教A 版

选修2-1

一、教学目标：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法

四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

（一）、知识要点：

1）定义：① 设<>=,则 （的范围为 ）

②设，则 。

注：①不能写成，或 ②的结果为一个数值。

2）投影：在方向上的投影为。

3）向量数量积运算律：

①②③

注：①没有结合律

二）例题讲练

1、下列命题：①若，则，中至少一个为②若且，则

③④

22

(32)(32)94

a b a b a b

+-=-

中正确有个数为（）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2、已知中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则= 。

3、若，，满足，且，则= 。

4、已知，且与的夹角为，则在上的投影为。

考点二：向量数量积性质应用

一）、知识要点：

①（用于判定垂直问题）

②（用于求模运算问题）

③（用于求角运算问题）

二）例题讲练

1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时

2、已知，，，则。

3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角

4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围

巩固练习

1、已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（）

A.-8

B.

C.

D.8

2、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）

A. B. C. D.

3、在中，设，，，若，则（）

直角三角形锐角三角形钝角三角形无法判定

4、已知和是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。

5、已知、、是非零的单位向量，且++=，求证：

为正三角形。