随机信号分析(第3版)第二章 习题答案

随机信号分析(第3版) 习题答案

2.12.2

2.3掷一枚硬币定义一个随机过程：

cosπtX(t)=

2t

出现正面出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：

（1）X(t)的一维分布函数FX(x2)，FX(x,1)；（2）X(t)的二维分布函数FX(x1,x22,1)；（3）画出上述分布函数的图形。

2.3解：（1）X(0.5)PX(1)P

00.5-10.5

10.520.5

0,x<0

FX(x,0.5)= 0.5,0≤x<1

1,x≥1 0,x< 1

FX(x,1)= 0.5, 1≤x<2

1,x≥2

一维分布为:

(2)X(1)01

-10.50

200.5

0,

二维分布函数为F(x1,x2;0.5,1)= 0.5,

1,

x1<0或x2<-1

0≤x1<1 x1>1 x>2 或 1≤x<2 2 2 x1≥1,x2≥2

2.4假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问，

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（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？

2.4解：

解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，

利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：

P {1011} =P B(n)=1 ×P B(n)=0 ×P B(n)=1 ×P B(n)=1

=0.8×0.2×0.8×0.8=0.1024

（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….

其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：

串（4bit数据）为：X(n)=

∑2

k=0

3

k

B(n+k)，其矩特性为：

因为随机变量B(n)的矩为：均值：E[B(n)]=0×0.2+1×0.8=0.8

2

方差：Var[B(n)]=Ε B(n) Ε B(n)

{}

2

=02×0.2+12×0.8 0.82

=0.8 0.82=0.8×(1 0.8)=0.8×0.2=0.16

所以随机变量X(n)的矩为：

均值：E[X(n)]=

∑2

k=03

3

k

E[B(n+k)]=∑2k×0.8=12

k=0

k2

3

方差：D[X(n)]=

∑(2

k=0

)D[B(n+k)]=∑4k×0.16=13.6

k=0

3

如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：Ε B(n),B(n+1),B(n+2),B(n+3) ={0.8,0.8,0.8,0.8}串方差：

{}

Var {B(n),B(n+1),B(n+2),B(n+3)} ={0.16,0.16,0.16,0.16}

（3）因为有P[B(n)=0]=0.2，P[B(n)=1]=0.8，P[B(n)=1]>P[B(n)=0]

可知出现概率最大的二进制数据为B(n)=1，又由独立性可得，

概率达到最大的串为{1,1,1,1}

（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列

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没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。

2.52.6

2.7设质点运动的位置如直线过程X(t)=Vt+X0，其中V N(1,1)与

X0 N(0,2)，并彼此独立。试问：

（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？（2）它是可预测的随机信号吗？

2.7解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

E[X(t)]=E[Vt+X0]=tE[V]+E[X0]=tD[X(t)]=D[Vt+X0]=t2D[V]+D[X0]=t2+2

(x t)2

所以它的一维概率密度函数为

:fX(x)= 22(t+2)(2)此信号是可预测随机信号

2.8假定（-1,+1）的伯努利序列{In,n=1,2,...}的取值具有等概特性。试问：（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？

（2）它是可预测的随机信号吗？

2.8解：

(1)fX(x)=0.5δ(x+1)+0.5δ(x 1)

E[In]=0.5(1 1)=0

E[In1]E[In2]=0n1≠n2

C(n1,n2)=R(n1,n2)=E In1In2 = E[X2]=1,n=n

n112 (2)该随机信号不可预测

2.9

2.10给定随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的自相关函数来表示差信号

Y(t)=X(t+a) X(t)的自相关函数。2.10解：

由题意可得：

RY(s,t)=E[Y(s)Y(t)]

=E{[X(s+a) X(s)][X(t+a) X(t)]}

=E[X(s+a)X(t+a)] E[X(s+a)X(t)] E[X(s)X(t+a)]+E[X(s)X(t)]=RX(s+a,t+a) RX(s+a,t) RX(s,t+a)+RX(s,t)

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2.11两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数RXY(t1,t2)；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；

题2.11

解：（1）RXY(t1,t2)=Ε X(t1)Y(t2) =Ε Asin(ωt1+Θ)×Bsin(ωt2+Θ)

1

=Ε[A]×Ε[B]×Ε cos(ω(t1 t2)) cos(ω(t1+t2)+2Θ) 2

1

=Ε[A]Ε[B] cos(ω(t1 t2)) Ε cos(ω(t1+t2)+2Θ) 2

{}

因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以Ε cosω(t1+t2)+2Θ =0，上式RXY(t1,t2)=

()

1

Ε[A]Ε[B] cos(ω(t1 t2)) ；2

（2）①如果E[A]或E[B]为0，则

RXY(t1,t2)=0，随机信号X(t)与Y(t)正交；

②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有

Ε X(t) =Ε Asin(ωt+Θ) =0，Ε Y(t) =Ε Bcos(ωt+Θ) =0，

CXY(t1,t2)=RXY(t1,t2) Ε X(t1) Ε Y(t2) =RXY(t1,t2)，

如果E[A]或E[B]为0，则RXY(t1,t2)=CXY(t1,t2)=0，X(t)与Y(t)互不相关；

如果E[A]与E[B]均不为0，则RXY(t1,t2)=CXY(t1,t2)≠0，X(t)与Y(t)相关；

综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；

③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会

相互独立。2.12

2.13假定正弦电压信号X(t)=Acos(ωt+Θ)，其中，A服从均匀分布U( 1,+1)，Θ

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服从均匀分布U( π,+π)，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13

解：由电路原理的相关知识可知：

A

总电流I为I=cos(wt+Θ) ACwsin(wt+Θ)，则

R

A

E[I2]=E[(cos(wt+Θ) ACwsin(wt+Θ))2]

RA2A2C2

=E[2cos(wt+Θ) sin(2wt+2Θ)+A2C2w2sin2(wt+Θ)]

RR1C2w2=2+3R3

2.14

2.15零均值高斯信号X(t)的自相关函数为RX(τ)=0.5e概率密度。

t1 t2

，求X(t)的一维和二维

题2.15

解：(1)因为mX(t)=0，DX(t)=CX(0)=RX(0)=0.5，所以一维概率密度函数为：

2

x m(t)[

] X

fX(

x,t)=

2D(t)X

{ x2}(2)高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：

=

X(t1) t1 0 X= =μ=，t， t 0 ，X(t) 2 2

C(t,t)C(t1,t2) RX(t1,t1)RX(t1,t2) C= 11 =

C(t,t)C(t,t) 2122 RX(t2,t1)RX(t2,t2)

，

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