实数经典例题及习题

第二章 实数综合练习题

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

零 整数、有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无限不循环小数

负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如7,2等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等； 3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001 等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“ a”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

a 0

注意a的双重非负性： a 0

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： a a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a b 0 a b, a b 0 a b, a b 0 a b

22（3）平方法：设a、b是两负实数，则a b a b。

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“

2、性质：

（1）(a)2 a(a 0)（3）ab

a(a 0)

（2）a a

a(a 0) （4）2”；被开方数a必须是非负数。 a (a 0,b 0) （a b ab(a 0,b 0)） aaaa(a 0,b 0) （ (a 0,b 0)） bb3、最简二次根式：运算结果若含有“a”形式，必须满足：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方

（2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律：运算律在无理数范围内仍然适用

加法交换律 a b b a

加法结合律 (a b) c a (b c)

乘法交换律 ab ba

乘法结合律 (ab)c a(bc)

乘法对加法的分配律 a(b c) ab ac

1.实数a、b、c在数轴上的对应点如图，求

a+a+b-

a b 0 c

b-c的值。

2.（1）9的平方根是（ ）。 A.-3 B.3 C.±3 D.81

（2）16算术平方根是（ ）。 A. ±4 B.-4 C.4 D.2

3.

x+30，求x的值。 y

4. 若a+b＜0，a＜0，b＞0，则a，-a，b，-b的大小关系为（ ）。

A. a＜-b＜b＜-a B. -b＜a＜-a＜b C.a＜-b＜-a＜b D.-b＜a＜b＜-a

5.

与0.5大小关系是

（填“＞”“=”或“＜）。 226.求下列各式中的x。 （1）(2x+3)-16=0； （2） 3x+81=0 125

7.

8.某化工厂一种球形储气罐的体积为9850m，试求该球体的直径.（球的体积公式为V=

结果保留3个有效数字）

3的大小. 4p取3.14，pR2，3

a10.若a＞0，＜0

b的结果是（ ）. 2

A.-3 B.3 C.2a+2b+3 C.-2a+2b-5

11.（大连中考）若

y=xy的值为（

）.

C.a+b D.a-b

12.（盐城中考）计算-

2

13.计算： -2(

-2)-2). 0

（1

）

-

（

2

）

-

14.化简：（

1

215.（

3）4-； （4

+3 （

2

）

； (

15.若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a-b+（cd）÷（1-2m+m）的值 。

例1.求使 a 3

例2.已知

y 2x x2-5 x 0，求22-121 a 314 a有意义的a的取值范围。 7（x＋y）－20的立方根。

例3.已知a，b均为有理数，且满足等式

. a，求a，b的值 例4.已知：x,y,z满足关系式x y z 2 x y z x y 2012 x y，试求x，y，z的值。

例5.已知5 的小数部分是a，5-7的小数部分是b，求a+b的值。

例6.已知a满足|2008-a|+a 2009=a，求a-2008的值。

练习题：

1已知：b a a 3

2.已知2a 1的算术平方根是3，3a b 1的平方根是±4，c

的整数部分，求a+2b-c的平方根。 2212，化简：b 2 3b a 2

3已知m、n是有理数，且

2 m 3 25 n 7 0，求m、n的值。

4已知实数a使2011 a a 2012 a成立，求a 2011的值。

5已知a2 2005是整数，求所有满足条件的正整数a的和.

7已知一个数的平方根是3a 1和a 11，求这个数的立方根.

8已知(x 7)2 121,(y 1)3 0.064，求代数式x 2 x 10y 245y的值。

9已知：(2x y)2 3,3(x 2y)3 3，求x 2y的值。

x y2

10已知A

＝xx y 3的算术平方根，B

＝x 2yx 2y的立方根，试求B－A的立方根.

211.已知x、y

是实数，且(x y 1)