金属中自由电子气体的热力学特征

金属中自由电子气体的热力学特征

第6卷 第5期 2001年10月

株洲师范高等专科学校学报

JOURNALOFZHUZHOUTEACHERSCOLLEGE

Vol.6No.5Oct.2001

金属中自由电子气体的热力学特征

方见树u

(株洲师范高等专科学校理化系,湖南株洲412007)

摘 要:根据自由电子气体所遵从的F-D分布规律,求出了金属中自由电子气体的内能、化学势、热容量、压强和熵等热力学特征函数.关键词:电子气体;F-D分布;热力学;特征函数

中图分类号:O551 文献标识码:A 文章编号:1009-1432(2001)05-0016-03

ThermodynamicCharacteristicsoftheElectron

GasinaMetal

FANGJian-shu

(DepartmentofPhysics,ZhuzhouTeacher sCollege,Zhuzhou,Hunan412007,China)

Abstract:Thethermodynamiccharacteristicfunctionsoftheelectrongasinametal,suchasU, ,CV,PandSareworkedoutbyitsF-Ddistribution.

Keywords:electrongas;F-Ddistribution;thermodynamics;characteristicfunction

这种 气体!也和普通气体一样按一定规律分布,但却与普通气体有着本质的不同,因为电子气体遵从的是量子统计分布(费米分布).由此,导致电子气体具有与普通气体不同的热力学性质和特征函数.本文将从自由电子气体所遵从的费米分布规律出发,求出电子气体的内能、化学势、热容量、熵和压强等热力学特征函数,进而对电子气体的热力学性质进行必要的讨论.

1 引言

金属的最简单模型是自由电子模型,这一模型认为组成金属的原子都可分解为离子实和价电子.离子实处于一定的空间点阵的阵点上形成金属的骨架,而价电子则可脱离原来所属的离子实的束缚在整个金属中自由运动,成为自由电子.这些自由电子虽然和金属晶格上原子间有相互作用势能,但由于晶格的周期性,而且排列非常紧密,故可认为电子在金属内任何一点的势能都近似相同.这样,自由电子就象装在容器中的气体一样作无规则的运动,这些自由电子的集合就形成了金属中的自由电子气体.

2 自由电子的分布

金属中的自由电子气体可视为在均匀正电荷背景下自由运动的近独立粒子组成的费米系统[1],因而服从量子统计中的F-D分布[2]:

u

收稿日期:2001-05-24

作者简介:方见树(1956-),男,湖南益阳人,株洲师专副教授,主要从事高校理论物理教学与研究.

15

金属中自由电子气体的热力学特征

株洲师范高等专科学校学报 2001年第5期(总第22期)

giV的金属中自由电子气体的总电子数为

1/2

4!V 3/2N=(2m)d (7)0eh+1

在给定电子数N、T和体积V时,电子气体的化

e+1

式中gi为量子态数,k为玻尔兹曼常数,T为热力学温度, 为化学势,Ni表示在能量为 的gi个量子态上的电子数,而每个量子态上的平均电子数为:

f( )=

Ni1=(2)gie+1

考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可

得到

Ni=(1)

#

学势便可由(7)式确定.例如,将(5)式代入(7)式可

4!V01/23/2

(2m) d h0

由此可解得T=0K时电子气体的化学势为:

N=

),根据量子统计理论,在体积为V的金2

属内,能量在 到 +d 范围内电子的量子态数能值( 为[3]:

gi=

#

2/3

()(8)2m8!V

利用(7)式和(8)式可以算得在低温情况下电子 0=

2

[1]4!V3/21/2

d (3)气体的化学势为(2m)h

4-2/3222

因此,在体积V内,能量在 到 +d 范围内的()++()+%]& = 0[1+

6408平均电子数为!2kT2!4kT4

[1-()+()+%](9)

4!V 1/23/2

Ni=(2m)d (4)

he+1kTkTkT

上式中较小,则可用代替.如果只考虑一

0现在我们讨论金属处在两种不同温度下的电子

分布:(1)T=0K时的电子分布 若以 0表示0K级近似,那么低温下电子气体的化学势可表为:

时电子气体的化学势即电子气体在0K时的最高能量(通常称为费米能级),则由(2)式可得电子的分布为

(5)

0 > 0

(5)式表明,当T=0K时,在 < 0的每一个量子态上平均电子数为1,而 > 0的每一个量子态上平均电子数为0.这是因为在0K时电子将尽可能占据能量最低的状态,但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子,所以电子从 =0的状态起依次填充至u0为止.(2)T>0K时的电子分布.当温度T>0K时,由(2)式可算得自由电子的分布为

>

f( )=

=

1

< 2 = 2

(6)

f( )=

1 < 0

22

()](10)120

(10)式表明,电子气体的化学势随着温度的升 = 0[1 高而逐渐减小.

4 电子气体的热容量

为了求得电子气体的热容量,首先必须知道电子气体的内能.若设金属内每个自由电子所具有的能为 ,而知体积为V的金属中自由电子数N由(7)式描述,这样体积为V的自由电子气体的内能为:

1/2

4!V 3/2

U=(2m)d &h0e+1352kT2

N 0[1+()](11)

5120

#

根据热容量与内能之间的关系[4],我们可以求得电子气体的定容量为:

U!2kT

)V=NK(12)20

由于在常温范围内电子的热容量远小于离子振 CV=(

动的热容量,通常可以忽略不计.但在低温范围内,离子振动的热容量按T3随温度少,而电子的热容量与T成正比,减少比较缓慢.所以,在足够低的温度下电子的热容量不可忽略.

1< > 2

(6)式表明,当T>0K时,在 < 的每一量子态上平均电子数大于1/2,在 = 的每一量子态上平均电子数等到于1/2,而在 > 的每一量子态上的平均电子数子小于1/2.由此可见,电子分布除与温度有关外,还与能量有关.

3 电子气体的化学势

在(4)式中对所有的能量求和,便可得到体积为

5 电子气体的压强

在金属内由于自由电子的无规则运动,使得电

金属中自由电子气体的热力学特征

方见树:金属自由电子气体的热力学特征

子气体具有一定的压强,据估算[3],在0K时电子气体的压强约为10Pa数量级.电子气体具有如此巨和零点V

能都非常大.利用量子统计系综理论计算低温时电大的压强,原因在于单位体积中的电子数

子气体的压强.对于自由电子气体,其巨正则系综中的巨配分函数的对数为

ln = ln(1+e

s

熵为

S=NK(17)

20

(17)式表明,电子气体的熵随温度T而变化.当T升高时,S增大,电子运动的混乱度增大,系统变得无序.当T降低时,S减小,混乱度减小,系统逐渐趋于有序.当T(0时,S=0,此正好与热力学第三定律的要求相吻合.

2

10

[5]

:)=

3/2d e+1

-#- s

3/2(2m)3h

式中 =

#

(13)

在上面的计算和讨论中,我们仅局限在低温范围内,自由电子的运动也就局限在金属内.当温度升到较高(如升到103K)时,电子可以摆脱金属的束缚而发射到体外形成所谓电子发射,这时金属中自由电子的数目将会减少,从而导致金属中自由电子气体的热力学性质发生改变,势必使表征电子气体热力学性质的特征函数的形式变得更为复杂化,此将在后续的撰文中讨论.

2 0,#= ,将这些量代入(13)式并

120kTkT

求积分可得

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