高等数学(同济第六版)上下册课后题答案00020

4 证明 若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0 则存在x0的某一邻域U(x0) 当x U(x0)时 f(x) 0

证明不妨设f(x0)>0 因为f(x)在x0连续 所以xlim xf(x) f(x0) 0

0由极限的局部保号性定理 存在x

0的某一去心邻域U(x0) 使当x U

(x0)时f(x)>0 从而当x U(x0)时 f(x)>0 这就是说 则存在x0的某一邻域U(x0) 当x U(x0)时 f(x) 0

5 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子

(1)x 0 1 2 12 n 1n

是f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间断点

解函数f(x) csc( x) csc

x

在点x 0 1 2

12 n 1n

处是间断的

且这些点是函数的无穷间断点

(2)f(x)在R上处处不连续 但|f(x)|在R上处处连续

解函数f(x) 1 x Q

1 x Q在R上处处不连续 但|f(x)| 1在R上

处处连续

(3)f(x)在R上处处有定义 但仅在一点连续

解函数f(x) x x Q

x x Q在R上处处有定义 它只在x 0处连

续

习题1 9

1 求函数f(x)

x3 3x2 x 3x x 6

的连续区间 并求极限limx 0f(x)

xlim 3

f(x)及xlim 2

f(x)

解f(x)

x3 3x2 x 3 (x 3)(x 1)(x 1)x x 6

函数在( )内除

点x 2和x 3外是连续的 所以函数f(x)的连续区间为( 3)、( 3 2)、(2 )

在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0)1x 0

2

在函数的间断点x 2和x 3处

limf((x 3)(x 1)(x 1)

x 2

x) lim

x 2(x 3)(x 2)

xlim 3

f(x) lim

(x 1)(x 1)x 3x 2 8

5

2 设函数f(x)与g(x)在点x0连续 证明函数

(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)}

在点x0也连续

证明已知xlim xf(x) f(x0

0) xlim xg(x) g(x0

0)

可以验证

(x) 1[f(x) g(x) |f(x) g(x)| ]

(x) 12

f(x) g(x) |f(x) g(x)| ]

因此

(x0) 12

f(x0) g(x0) |f(x0) g(x0)| ]