曾谨言《量子力学》答案 第3章

曾谨言《量子力学》答案

第三章： 一维定态问题

[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

2aa26

1 22）x （x x） 122n

并证明当n 时上述结果与经典结论一致。

[解]写出归一化波函数：

n x

2n x

（1） sin

aa

2

a

先计算坐标平均值：

x xdx

a

22n x1a2n x

sinxdx （1 cosxdx aaa0a

利用公式：

xsinpxdx

得

xcospxsinpx

（2） 2

pp

xcospxdx

2

xsinpxcospx

（3） 2

pp

2

a

x

1x a

a2 2n 2n x a 2n x xsin cos

aa 2n

2

2

a

2

（x x） x x，x以知，可计算x 计算均方根值用

2

2

2n x1a22n x

x x2dx x2sin2dx x（1 cosdx

00aaaa

2

a

2

利用公式

2

x cospxdx

1221

xsinpx 2xcospx 3sinpx （5） ppp

a

22 11aa2n xa2n x

x2 x2 x2 sin 2xcos

a32n 2n a2n a 0

曾谨言《量子力学》答案

a2a2

32n2 2

2

（x x） x2 x

2

a2a2 a

22 32n 2

2

a2a2

22 （6）

122n

在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度

1。 a

x xdx

aa

1axdx a2

x

2a

12a2

dx

a3

2

（x x） x x

2

2

a2a2 a

22 32n 2

2

故当n 时二者相一致。

#

[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[解] （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下： (x<0区)： Ae

k1x

（1）

（0<x<a区）： Be（x>a区）： De但

ik2x

Ce ik2x （2）

k3x

（3）

k1 2mV1 E/

2mV2 E/

k2 2mE/

k3

写出在连接点x=0处连续条件

A B C （4） k1A ik2(B C) （5） x=a处连续条件

曾谨言《量子力学》答案

Be

Be

ik2a

Ce ik2a De k3a（6）

ik2a

Ce ik2a

ik3

De k3a（7） k2

（4）（5）二式相除得

k1B C

ik2B C

（6）（7）二式相除得

ik3Beik2a Ce ik2a

ik2a

k2Be Ce ik2a

从这两式间可消去B，C，得到一个k1k2k3间的关系

ik3 k1 ik2 eik2a k1 ik2 e ik2a

ik2a ik2a

k2k1 ik2e k1 ik2e

k1cosk2a k2sink2a

ik1sink2a k2cosk2a解出tgk2a，得

tgk2a

k2 k1 k2 k2 k1k2

2

n n 0,1,2, （8）

最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：

tg

E1 E 2 E2mEa E V1 EV2 E

（乙法）在0<x<a区间中波函数表示为

x Bsin k2x 2

现在和前一法相同写出边界条件：

（在x=0处） A Bsin (9) k1A k2Bcos (10)

(在x=a处) Bsin k2a De

k3a

(11)

k3a

k2Bcos k2a k2De（9）（10）相除得

(12)

曾谨言《量子力学》答案

tg

（11）（12）相除得

k2E

(13)

k1V1 E

tg k2a

k2E

(14)

k3V2 E

写出（13）（14）的反正切关系式，得到：

tg 1

E

m

V1 E

E

n

V1 E

k2a tg 1

k2a p tg 1

EE

tg 1

V1 EV2 EEE

sin 1

V1V2

或 k2a p sin

1

前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件，

等号左右方取其正切： 左方 tgk2a tg p tg

1

EE tg 1V1 EV2 E

EE V1 EV2 E

E

E1 E 2 EE

V1 EV2 E

此结果与第一法相同。

#

［3］设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： x 0 V x 求粒子的能级。

（解）本题是在半区x 0， 中的一维谐振子，它的薛定谔方程式

1

m 2x2 x 0 2

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在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区 x〈0 中 x 0。 一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式：

2d2 1 m 2x2 E （1） 2

2mdx2

作自变量变换

（

m）

并将波函数变换： x e

2

u

d2udu

得u的微分方程： 2 1 u 0 （2）

d d 2

但

2E

（3）

2

设（2）的解是级数： u

a

a1 an n （4）

将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。

此外又得到相同的二个未定系数an，an 2之间的关系有二种： s=0时，an 2

2n 1

an （5）

n 2n 12n 3

a （6）

n 3n 2n

s=1时，an 2

为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，a0 0，a1 0，则在（6）式中取n为最高幂时：

an 2 0 由（3）得 E

2n 3

an，2n 3 0

n 3n 2 3 3

n 2m h (7) 2 2 2

式中的m=0,1,2,3,4,……

（7）式即我们需求的粒子的能级。

0， 2 x 0 本题的波函数是 x

2 A2m 1eH2m 1

曾谨言《量子力学》答案

但

m

x x A 2m 1

2

2m 1

2m 1！

是归一化常数，H2m 1 是奇阶数厄米多项式。 #

［4］考虑粒子 E〈0 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。 （解）本题中设想粒子从左侧入射。

在（x

〈0〉区中有入射反射波

1 x Aeih1x Be ik1x …… 此处隐藏：6381字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……