连续型随机变量常见的几种分布

连续型随机变量几种常见分布

三. 几种常见的连续型随机变量的分布 1. 均匀分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为： 1 f ( x) b a 0 a x b

其它

则称 X 在区间 (a, b)上服从均匀分布 (或等概率分 布) 记作 X ~ U(a, b)注: ▲ 易证 f ( x ) 满足：

1 . f ( x) 0 ,0

2 . 0

f ( x )dx 1

▲

f ( x ) 的图形：

f ( x)

a

0b

1 b a

▲ 均匀分布的概率意义:

X 落在区间 (a, b) 中任意等长度的子区间的可能性 是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位置无关.

[证]:

设 ( c , d ) ( a , b)P (c X d ) f ( x )dx c c 1 (d c ) b ad

d

1 dx b a

即 X 落在 (c, d ) 内的概率只与 (c, d) 的长度有关, 而与(c, d) 在 (a,b) 中的位置无关. 均匀分布常见于下列情形： 比如: 在数值计算中，由于四舍五 入,小数点后某一 位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后 通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.4

▲ 由分布函数定义可得：若X 服从均匀分布，则 X 的分布函数为:

0 x a F ( x) x a a x b b a 1 x b图形:1

F ( x)

a

0

b

x

例1.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00,7:15,7:30, 7:45 等时刻有汽车 到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量 试求： (1) 乘客候车时间少于 5 分钟的概率 (2) 乘客候车时间超过10分钟的概率

解： 设以7:00为起点0,以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ~ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00,7:15, 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：

P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 37

候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间

P (0 x 5) P (15 x 20)

5

0

20 1 1 dx dx 15 30 30

1 3

2. 指数分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：

e x f ( x) 0其中

x 0 其它

0 为常数

则称 X 服从参数为 的指数分布 注: ▲ 易证 f ( x ) 满足：

1 . f ( x) 0 , 2 . f ( x )dx 1009

▲ 由分布函数定义可得：若X 服从指数分布，则 X 的分布函数为:

1 e x x 0 F ( x) 其它 0▲ 指数分布的图形特点 ▲ 指数分布的性质(无记忆性) 若X 服从指数分布，则： 对任意的 s , t 0 有：

P {X s t X s } P { X t }

若

设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件 对它已使用过 s小时没有记忆。10

例2. 某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件， 其寿命(单位:h)都服从同一指数分布，概率密 度为 x

1 200 e f ( x ) 200 0

x 0 x 0

试求： 仪器在使用的最初200h内，至少有一个元 件损坏的概率

3. 正态分布 正态分布是应用最广泛的 一种连续型分布. 数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布. 德莫佛

高斯12

(1). 正态分布的定义若随机变量 X 的概率密度为：( x )2 2 2

f ( x) 其中:

1

2

e

, x

和 2都是常数， 任意， >0, 2 则 称 X 服从参数为 和 的正态分布.记作 :

X ~ N ( , )2

f (x) 所确定的曲线叫作正态曲线.

(2). 正态分布

N ( , 2 ) 的图形特点

正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形 曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”

正态分布

N ( , ) 的图形特点2

决定了图形的中心位置， 中峰的陡峭程度.15

决定了图形

(3) 由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点

f ( x) ▲ ▲

1

2

e

( x )2 2 2

, x

显然: f ( x ) 0 即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方.

f ( x ) 以μ 为对称轴，并在 x 处达到最大值:

f ( )

1 2