2008年上海卷高考理科数学试题

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）

数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.不等式x 1的解集是___________________.

2.若集合A {x|x 2}，B {x|x a}满足A B {2}，则实数a _________.

3．若复数z满足z i(2 z)(i是虚数单位)，则z ___________.

4．若函数f(x)的反函数为f 1(x) x2(x 0)，则f(4) ___________.

5．若向量a、b满足|a| 1，|b| 2，且a与b的夹角为，则|a b| _______. 3

6

．函数f(x) x sin( x)的最大值是___________________. 2

7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，2)、E(2，2)、F(3，3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）.

8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x (0， )时，f(x) lgx，则满足f(x) 0的x的取值范围是___________________.

9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________.

10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________.

11

．方程x 1

0的解可视为函数y xy

421的图象交点x的横坐标.若方程x ax 4 0的各个实根x1，x2，...，xk(k 4)所对应的点(xi，

4)(i 1，2，3，...，k)均在直线y x的同侧，则实数a的取值范围是______. x1

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.

r12．组合数Cn(n r 1，n、r Z)恒等于 nr 1r 1r 1r 1r 1Cn 1 Cn 1 B.(n 1)(r 1)Cn C. D.nrCn 1 1rn 1

13.给定空间中的直线l及平面 .条件“直线l与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的 A.

A.充要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

14．若数列{an}是首项为1，公比为a

值是 A.1 B.2 C.3的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a215 D. 24

15．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是定圆的四等分点.若点P(x，y)、点P (x ，y )满足x x 且y y ，则称P优于P .如果 中的点Q满足：不存在 中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧

C.CD D.DAA. AB B.BC

三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

16．(本题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC1的中点.求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

.

17．（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了 10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

.

18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分. 已知函数f(x) sin2x，g(x) cos(2x

图象分别交于M、N两点. 6)，直线x t(t R)与函数f(x)、g(x)的

时，求|MN|值； 4

⑵求|MN|在t [0，]时的最大值. 2⑴当t

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知函数f(x) 2 x1. 2|x|

⑴若f(x) 2，求x的值；

⑵若2f(2t) mf(t) 0对于t [1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

t

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

设P(a，b)(b 0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1，b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2 2py(p 0)的异于原点的交点.

⑴已知a 1，b 2，p 2.求点Q的坐标；

1x2

y2 1上，p ⑵已知点P(a，b)(ab 0)在椭圆.求证：点Q落在双曲线2ab4

4x2 4y2 1上；

⑶已知动点P(a，b)满足ab 0，p 1，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛2ab

物线上，试问动点P的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.

an c(an 3) 已知以a1为首项的数列{an}满足:an 1 a. n(an 3) d

⑴当a1 1，c 1，d 3时，求数列{an}的通项公式；

⑵当0 a1 1，c 1，d 3时，试用a1表示数列{an}前100项的和S100； ⑶当0 a1 111(m是正整数），c ，正整数d 3m时，求证：数列a2 ，mmm

111a3m 2 ，a6m 2 ，a9m 2 成等比数列当且仅当d 3m. mmm