高中数学 2.3离散型随机变量的均值和方差课件 新人教B版选修2-3

离散型随机变量的数学期望和方差

一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

P

p1

p2

pi

2、离散型随机变量分布列的性质：

(1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1.

二、互动探索1、某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1, 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 多少？

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 X 2 10X P 14 10

把环数看成随机变量的概率分布列：23 10

32 10

41 10

权数加 权 平 均

4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10

2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg, 36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：X P 183 6

242 6

361 6

1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6

一、离散型随机变量的均值 数学期望 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：

XP

x1

x2

· · · xi· · · pi

· · · xn· · · pn

p1

p2

则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。2 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX ) pi ( xn 2 EX ) pn

为随机变量X的方差。 称 DX 为随机变量X的标准差。 它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。

数学期望与方差的性质

E (aX b) aEX b基础训练1、随机变量ξ的分布列是ξ P 1 0.5 3 0.3

D(aX b) a DX2

5 0.2

(1)则Eξ=

2.4

. Dξ = 2.44 . Dη = 9.7610 0.2

5.8 (2)若η=2ξ+1,则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是ξ P 4 0.3 7 a 9 b

Eξ=7.5,则a=

0.1 b=

0.4 .

例题讲解例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少？ 小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，X 1 0

P

p

1- p

则

EX 1 p 0 (1 p) pDX p(1 p)

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次； (1)求他得到的分数X的分布列； (2)求X的期望和方差。 解：(1) X~B(3,0.7)X P 0 13

22

3

0.3

C 0.7 0.31 3

C 0.7 0.32 3 2

0.7

3

1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73 EX 2.1 3 0.7 DX 0.63 一般地，如果随机变量X服从二项分布，

即X~B(n,p),则 EX np DX np(1 p)

例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球， 从中摸出3个球. (1)求得到黄球个数ξ的分布列； (2)求ξ的期望和方差。 解： (1) ξ 服从超几何分布ξ P 00

3 C2 C3 3 C5

11 2 C2 C3 3 C5

22 1 C2 C3 3 C5

小结： 一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几 何分布,则nM E X N

1 6 3 (2) E 0 1 2 1.2 10 10 10

D

四、应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1, X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解：EX 1 9, EX 2 9

DX1 0.4, DX2 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 9, EX 2 9

DX1 0.4, DX2 0.8

问题1:如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？ 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？

练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：EX 1 1400 , EX 2 1400

DX1 40000, DX 2 160000在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单位。

相关练习： 1 1、 已 知 3 , 且D 13, 则D 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX 8, DX 1.6, 则n 10 , p 0.83、有一批数量很大的商品，其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98 4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球

和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 3 .

课堂小结一、离散型随机变量的期望和方差

XP

x1

x2

· · · xi

· · · xn

p12

p2

· · · pi2

· · · pn2

EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pnDX ( x1 EX ) p1 ( xi EX ) pi ( xn EX ) pn

二、性质 E(aX bX ) EaXp E

b

D(aX b) a DX2

三、如果随机变量X服从两点分布，DX p(1 p)四、如果随机变量X服从二项分布，即X~B(n,p)

EX np

DX np(1 p)

1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙在测

验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 5,25 的期望和方差。 设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B(20,0.9),,由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩 分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

作业