2012新课标高考数学热点集中营 热点03 基本函数的性质

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【两年真题重温】

1.【2011 新课标全国】下列函数中，既是偶函数又在(0, )单调递增的函数是( )． A．y x3 B．y |x| 1 C．y x2 1 D．y

2 |x|

和q4：p1 p2 中，真命题是

（A）q1，q3 （B）q2，q3 （C）q1，q4 （D）q2，q4 【答案】C

【解析】命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.

x xx xx x

函数y 2 2在R为增函数为真命题，而函数y 2 2为偶函数，则y 2 2p1：

在R不可能为减函数，p2：函数y 2 2在R为减函数为假命题，则 p1为假命题， p2为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C. 【命题意图猜想】

高中阶段包含基本函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，其中以指数函数和对数函数的性质为命题热点，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考

x x

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的目的。题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用指数和对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．也应为同学们必须得分的题目。2010年以指数函数为背景考查复合函数的性质，2011年以多个基本函数为背景考查了函数性质，均没有涉及到对数函数的基本性质，这是我们应该关注的一个重点。同时需要注意幂函数的图像在解题中应用。 【最新考纲解读】 1．指数函数

①通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． ③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点． 【回归课本整合】 1指数式、对数式：

a a

m mn

0a 1，loga1 0，logaa 1，lg2 lg5 1，logex lnx，，， m

a

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ab N logaN b(a 0,a 1,N 0)，alogaN N，logab logcb，

logca

logambn

n

logab. m

2.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较. 3.指数函数：

（1）指数函数图象和性质

x

（2）y a(a 0且a 1)的图象特征：

①a 1时，图象像一撇，过点 0,1 ,且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴(如图1)； ②0 a 1时，图象像一捺，过点 0,1 ,且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴(如图2)； ③y a与y a

x

x

的图象关于y轴对称(如图3).④y a的图象如图4

x

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4. 对数函数

（1）对数的图象和性质： （2）

y logax(a 0且a 1)的图象特征：

①a 1时，图象像一撇，过 1,0 点，在x轴上方a越大越靠近x轴； ②0 a 1时，图象像一捺，过 1,0 点，在x轴上方a越小越靠近x轴. ③y ax（a 1,a 1）与y logax互为反函数，图象关于y x对称；如图2 ④y logax(a 1)的图象3.⑤y logax(a 1)的图象4.

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5.幂函数的定义和图象

11α

（1）定义：形如y＝x的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，2，－1,0，－2，－2时的幂函数。

(1)当α>0时，幂函数图象都过 限都是增

(0,0)点和 (1,1)点；且在第一象

函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，

为过(0,0)点和(1,1)点的直线 (2)当α<0时，幂函数图象总经过 (1, 1) 点，且在第一象限为减函数．

(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)． 6. 常见复合函数类型

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【方法技巧提炼】

1．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍． 2．指数函数y＝a(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．

3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象． 4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决． 【考场经验分享】

1.此类题一般在选择题的中间位置，难度为中档，应该是得分的题目。在解题时注意解答选择题常用的方法：验证法和排除法的应用。

2. 指数函数y＝a(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究．

2xx2xx3．对可化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围．

4．指数式a＝N(a>0且a≠1)与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．

x

x

b

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5．在运算性质logaM＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)时，要特别注意条件，在无M>0的条件

n

n*

下应为logaM＝nloga|M|(n∈N，且n为偶数)．

6.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【新题预测演练】

1.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】

函数y ）

A． 0,8

B． 2,8

C． 2,8

D． 8,

3. （2012届浏阳一中高三第一次月考）

下列函数中，在(-1, 1)内有零点且单调递增的是（ ）

A. y=log1x

2

B. y=2-1 C. y=x-x

2

13 D. y=-x 2

【答案】B

【解析】由所求函数在(-1, 1)内是增函数,故排除C、D，又因为y=log1x中的真数x 0，

2

故A错误，故选B.

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4.[潍坊市三县2012届高三10月联合考试]

下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )

Ａ．①y

1

x3,②y

x,③y

3

2

1

x2,④y1

x2,④y

x Ｂ．①y x,②y x,③y x Ｄ．①y

1

1

x3,②y

132

1

x2,④y

x 1

Ｃ．①y x,②y x,③y 【答案】B

2