003第三章 多元随机变量及其分布

水文统计学

第 三 章多元随机变量及其分布

水文统计学

§3-1 多元随机变量与联合分布 §3-2 边际分布 §3-3 条件分布 §3-4 随机变量的独立性

§3-5 多元随机变量函数的分布§3-6 二元正态分布

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§3-1 多维随机变量与联合分布多元随机变量 联合分布 二元离散型随机变量 二元连续型随机变量

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多元随机变量定义:设E是一个随机试验，它的基本空间为 , 如果对E的每个结果 ,下列每个函数 X 1 X( ),X 2 X( ), ,X n X( ) 2 2 n 各对应一个实数，则称(X 1,X 2, ,X n) 为n元(维)随机变量(或称随机向量)。 当n 2时，称(X 1,X 2, ,X n)为多元随机变 量或多维随机变量。例如:打靶时的弹着点位置(X,Y)是一个二元随机变量。每 炉钢的基本指标硬度(X),含碳量(Y),含硫量(Z),(X, Y,Z)是一个三元随机变量。

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联合分布定义:设 ( X1,X2,…,Xn )为多元随机变量，x1, x2,…,xn是n个任意的实数，则称 F(x1,x2,…,xn ) =P(X1< x1 ,X2 < x2 ,…,Xn < xn ) 为多元随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函 数，简称联合分布或分布函数。 二元随机变量分布函数 可以写成F(x,y) , F(x,y)=P(X<x, Y<y) 分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数 值，就是(X, Y )落在D内的概 率。

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分布函数的性质F ( x, y)是变量x和y的非降函数 对任意固定的y,当x 对任意固定的x,当y 当x2 2 2

x1时，F(x2,y) F(x1,y) y1时，F(x,y2) F(x,y1)

0 F ( x, y ) 1, 且对任意固定的y,F ,y) 0; ( 对任意固定的x,F x, ) 0; ( F , ) 0;F , ) 1 ( ( 。

x1,y2 y1时，F(x2,y2) F(x1,y1)

F x,y)是关于x和y的左连续函数。 (

F(x 0, y ) F ( x, y ), F(x , y 0) F ( x, y )

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对任意x2 x1 , y2 y1P ( x1 X x2,y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )

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二元离散型随机变量如果二元随机变量(X,Y)的所有可能取值是 有限对或可列无限对时，则称(X,Y)为离散 型随机变量。 称X=xi,Y=yi同时发生的概率

P ( X xi , Y yi ) pij

i 1,2, ,j 1, 2,

为(X,Y)的联合概率函数或联合分布律。

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例：在五个产品中有两个是正品，每次从中任取一个检验其质量，若不放回地连续抽取两次，用Xk=0表示第k次取 到正品，Xk=1表示第k次取到次品，k =1,2, 试写出(X1,X2)的联合分布律。

解： ( X1 0, X 2 0) P( X 1 0) P( X 2 0 / X 1 0) 2 1 1 P 5 4 10 同理2 3 3 P( X 1 0, X 2 1) 5 4 10 3 2 3 P( X 1 1, X 2 0) 5 4 10 3 2 3 P( X 1 1, X

2 1) 5 4 10X2 X1 0 1 0 1

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二元连续型随机变量二元连续型随机变量

设二元随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y), 如果存在非负函数f(x,y)使对任意实数x,y, 有 y x

F ( x, y)

f ( x , y )dxdy

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。函数 f(x,y)称为二元随机变量( X , Y )联合分布 密度函数，简称联合密度或密度函数。

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联合密度的性质f x, y) 0 ( f ( x, y)dxdy 1 2 F ( x, y) f(x,y) x y对任意平面区域D,有 P[( X , Y ) D] f ( x,y )dxdyD

若f(x,y)在点(x,y)连续，则

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例：设二元随机变量的密度函数为 2 1 x xy, 0 x 1, 0 y 2 f ( x, y ) 3 0, 其他 求(X ,Y)落在区域x y 1 内的概率。

1 解：如图，P(X Y 1)= f ( x, y)dxdy x xy) ( dxdy 3 D D 1 22

[0

1 x

( x2

1 xy )dy ]dx 3

65 1 4 2 5 3 ( x x x )dx 72 2 3 6 01

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§3-2 边际分布边际分布 二元离散型随机变量的边际概率 与边际分布 二元连续型随机变量的边际密度 与边际分布

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边际分布定义 设F(x,y)是二元随机变量(X,Y) 的分布函数，则称

FX ( x ) P( X x ) P( X x, Y ) F ( x, ) FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F ( , y )

为二元随机变量(X ,Y)的边际分布函数, 简称边际分布。 F(x)为随机变量X 的边际分布。 X FY y)为随机变量Y的边际分布。 (

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二元离散型随机变量的 边际概率与边际分布联合概率函数 : P ( X xi , Y y j ) pij , i , j 1,2, X的边际概率 :P( X xi ) P[( X xi ) ] P{( X xi ) [(Y y1 ) (Y y2 ) ]} P[( X xi ) (Y y1 )] P[( X xi ) (Y y2 )] P( X xi ), y j )] pij pi (Yj j

Y的边际概率 :P(Y y j ) P( X xi , Y y j ) pij p ji i

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对二元离散型随机变量(X,Y),其边际分布函数为FX ( x ) P ( X x ) xi x

P( X x )i

FY ( y ) P (Y y )

yj y

P (Y y )j