全国高中数学联赛辅导课件----平面几何的几个重要定理

平面几何──平面几何的几个重要定理 平面几何──平面几何的几个重要定理 ──引入

梅涅劳斯定 理

托勒密定 理

塞瓦定理

课外思考

平面几何──平面几何的几个重要定理 平面几何──平面几何的几个重要定理 ──平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支， 且因其证 平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支 ， 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复 数法、 向量法等许多证法， 这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 数法、 向量法等许多证法， 这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题 有一道几何题. 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系; 平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心(内心、 外心、垂心、重心) 及等积变换;三角形的心(内心、 外心、垂心、重心)及其性 个重要定理; 几个重要的极值： 质; 四 个重要定理; 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点, --费马点 和最小的点--费马点 ,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心 三角形内到三边距离之积最大的点-----重心; 重心, -----重心 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题: 等周问题: 在周长一定的n边形的集合中， 边形的面积最大。 在周长一定的 n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中， 边形的周长最小。 在面积一定的 n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 2

平面几何的几个重要的定理 梅涅劳斯定理及其逆定理 梅涅劳斯定理及其逆定理 若一条直线截△ 若一条直线截△ ABC 的三条边 AB、BC、CA 或他们的延长线) ,所得交点分别为 (或他们的延长线) 所得交点分别为 X、Y 、Z , , AX BY CZ = 1. 则有 XB YC XX 结论反过来 也成立. 也成立.

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应用1(可证西姆松定理) 应用 可证西姆松定理) 可证西姆松定理

应用2 应用

(西姆松定理及其逆定理) 西姆松定理及其逆定理) 1.点 的处接圆上, 练习 1. 点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从 引的垂线的垂足, 点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足, 求证: 共线. 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得BA1 BP cos ∠PBC , = C

A1 CP cos ∠PCB AC1 AP cos ∠PAB = BC1 PB cos ∠PBA CB1 CP cos ∠PCA , = AB1 AP cos ∠PAC

由 上 面 的 三 个 式 子 相 且Q∠PAC =∠PBC,∠PAB =∠PCB,∠PCA+∠PBA= 180° BA1 CB1 AC1 可得 =1 , CA1 AB1 BC1

乘

练习 2:已知直线 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,直线 AB 和 2:已知直线 O,直线 A1 B1 的 交 点 为 C 2 , 直 线 BC 与B1C1 的 交 点 为 A2 , 直 线 AC 与A1C1 的交点为 B2 ,试证 : A2、B2、C 2 三点共线. 试证: 三点共线.证明: 证明:由 A2、 B2、 C 2 分别是直线 BC和B1C1,AC 和 A1C 1, 的交点, AB和 A1 B1 的交点,对所得的三角形和它们 边上的点：OAB和( A1,B1 , C2 ), OBC和(B1 , C1 , A2 ), 应用梅涅劳斯定理有: OAC 和 ( A1 , 1 , B2 ) 应用梅涅劳斯定理有: C

OC1 BB1 CA2 AA1 OB1 BC2 = 1, = 1, CC 1 OB1 BA2 OA1 BB1 AC2 OA1 CC 1 AB2 = 1 ,将上面的三条式子 AA1 OC1 CB2 BC 2 AB2 CA2 应用梅涅 = 1 应用梅 涅 相乘可得 AC 2 CB2 BA2 共线. 劳斯定理可知 A2 , B 2 , C 2 共线.

平面几何的几个重要的定理 托勒密定理： 托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线 圆内接四边形中 ，两条对角线的乘积 ( 所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和( 所包矩形的面积 ) 等于两组对边乘积之和 ( 一组对边 所 包 矩形 的 面积 与 另一 组对 边 所包 矩 形的 面积 之 内接于圆, 和).即：若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB CD + AD BC = AC BD . 广义的托勒密定理 在四边形 ABCD 中, 有: AB CD + AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 内接于圆时,等号成立. 6定理证明 2答案 答案

广义的托勒密定理: 广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: AB CD + AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 内接于圆时,等号成立. ABCD 内接于圆时,等号成立. 证明: 证明:四边形 ABCD 内取点 E,使 ∠ BAE = ∠ CAD, ∠ ABE = ∠ ACD , ABE 和 ACD 相 似 AB BE AB AE ∴ = AB CD = AC BE 又 Q = AC CD AC AD 且 ∠ BAC = ∠ EAD ∴ ABC 和 AED 相 似 BC ED ∴ = AD BC = AC ED AC AD ∴ AB CD + AD BC = AC ( BE + ED ) ∴ AB CD + AD BC ≥ AC BD

上时成立,即当且仅当四 且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四 等号当且仅当 内接于圆时,等号成立. 边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 7

练习 1.如图 2, 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC 上 P 是正△ 任一点( 重合) 求证:PA=PB+PC. 任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB+PC. 2.( 届全苏数学竞赛) 练习 2.(第 21 届全苏数学竞赛) 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,1 1 1 求证： 求证： . = + A1 A2 A1 A3 A1 A4

平面几何的几个重要的定理

塞瓦定理： 塞瓦定理：设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC

、CA、AB 边 上 的 点 , 则 BP C Q AR AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是 : = 1. PC QA RB A R MQ

B应用 西姆松 定理西姆松定理应用

P

C9

1.证明 三角形的三条中线交于一点. 证明: 练习 1.证明: 三角形的三条中线交于一点. 2.证明 三角形的三条角平分线交于一点. 证明: 练习 2.证明: 三角形的三条角平分线交于一点 . 3.证明 锐角三角形的三条高交于一点. 证明: 练习 3.证明: 锐角三角形的三条高交于一点.

平面几何的几个重要的定理

西姆松定理及 西姆松定理及其逆定理: 定理: BC、AB、 的垂线， 若从 △ ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线， 三点共线. 垂足分别为 D、E、F ,则 D、E、F 三点共线. 成立. 反过来也成立.这条直线叫西姆 松线. 直线叫

CF 1.设 、 练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD BE、 的垂足分别为 D E、F ;从点 D 作 AB BE、 、 的垂线,其垂足分 CF AC 的垂线, 、 、 、 求证: 、 在同一条直线上. 别为 P、Q、R S ,求证: P、Q、R S 在同一条直线上.

思考(1999 年全国联赛第二试试题) 思考(1999 年全国联赛第二试试题) 图, 如 图 , 在四 边形 ABCD 中 , 对角 线 AC 平 分 ∠ BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 F,延长 G ,求证: ∠GAC = ∠EAC . 求证:证明:如图, H,对 证明:如图,直线 BD 交 AC 于 H,对 BCD用塞瓦定理 ,CG BH DE 有： = 1因 AH 是∠BAD的平分 ， GB HD BC BH AB CG AB DE 由 角平分 定理 ，可得 = 故： =1 HD AD GB AD EC C 作AB的平行 交AG的延 于I, C 作AD 的平行 交AE的延 于J CG CI DE AD CI AB AD , : = = ∴ =1 GB AB EC CJ AB AD CJ 而 : CI = CJ 又 Q CI // AB , CJ // AD ∴∠ACI = π ∠BAC = π ∠DAC = ∠ACJ ∴ ACI ACJ ∴∠IAC = ∠JAC ∴∠GAC = ∠EAC13