第二章函数试题及答案 指数函数和对数函

第二章函数试题及答案 指数函数和对数函

指数函数和对数函数·指数函数·例题

[ ]

解 A

例2 f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域

是 [ ]

A．(0，+∞) B．(5，+∞)

C．(6，+∞) D．(-∞，+∞)

解 B 因为f(x)=x2+5＞5，即f(x)的值域为(5，+∞)，故f-1(x)的定义域为(5，+∞)．

例3 下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是 [ ]

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解 B

例4 函数y=(a2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a的取值范围是

[ ]

例5 已知a＞b，ab≠0．审查下列不等式．

其中恒成立的

有 [ ]

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解 C

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解 (0，1)

例7 使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是______．

例8 根据不等式确定正数a的取值范围：

(1)a-0.3＜a0.2，则a∈______；

(2)a7.5＜a3.9，a∈______；

解 (1)(1，+∞) (2)(0，1) (3)(0，

1)

(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；

(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0)，都有f(x)＞0．

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所以f(x)是偶函数．

(2)当x＞0时，2x＞1，所以f(x)＞0．

当x＜0时，由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)＞0．

所以对一切x∈R，x≠0，恒有f(x)＞0．

注 利用函数的奇偶性常可使解法简化．如本例(2)，当x＜0时，证明f(x)＞0较繁．若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x＞0时f(x)＞0，而这是显然的．

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(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)证明f(x)是区间(-∞，+∞)上的增函数；

(3)求函数的值域．

解 (1)f(x)的定义域为R．又

所以f(x)为奇函数．

在R上为增函数．

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[ ]

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．b＜c＜a D．c＜b＜a

解

C

[ ]

例14 对数式loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)中的x的

[ ]

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例15 如果f(lgx)=x，则f(3)的值等于 [ ]

A．log3 B．log310 C．l03 D解 C 令lgx=3，则x=103．

例16 若log2x=log3y=log5z＞0，

则

[ ]

解 B 令logk2x=log3y=log5z=k，有x=2k，y=3，z=5k．于是

．310

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例17 已知ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且logMb=x，则logMa的值为

[ ]

解 A 因为ab=M，所以logMab=logMM=1，即logMa+logMb=1．但logMb=x，所以logMa=1-x．

例18 计算：

(1)25log53

=______

例20 设M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在

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事实上，若lga=1，则a=10．此时11-a=1，从而11-a=lga=1，此与集合元素互异性矛盾．

若2a=1，则a=0．此时lga无意义．

1，则a=10，从而lga=1，与集合元素互异性矛盾．

例22 化简：

例23 设a，b同号，且a2-2ab-9b2=0，求

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lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)

的值．

解

A

[ ]

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[ ]

A．R B．(-∞，-3]

C．[8，+∞) D．[3，+∞)

解

B

例26 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x) [ ]

A．在(-∞，0)内单调递增

B．在(-∞，0)内单调递减

C．在(-∞，-1)内单调递减

D．在(-∞，-1)内单调递增

解 D 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．

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例27 已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式

是 [ ]

A．-x2-lg(1-x) B．x2+lg(1-x)

C．x2-lg(1-x) D．-x2+lg(1-x)

解 A 设x＜0，则-x＞0，所以

f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)

f(x)=-x2-lg(1-x)

例28 函数y=5x+1的反函数

是 [ ]

A．y=log5(x+1) B．y=logx5+1

C．y=log5(x-1) D．y=log(x-1)5

解

C

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解 (1)奇函数．

∴ f(x)为奇函数

(2)3.373 因为ψ(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)．所以

ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2)) =8-ψ(2)=8-4.627=3.373

例31 若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______．

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log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)＜0，求x的取值范围．

另一方面，有

所以f(x)是奇函数．

故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．

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例33 已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f(x)=lg(ax-bx)，

(1)求y=f(x)的定义域；

(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；

(3)若f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值．

(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2．

因为a＞1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．

故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+∞)内是增函数．

(3)因为f(x)在(1，+∞)内为增函数，所以对于x∈(1，+∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，即f(x)＞0只须f(1)=0．于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1．

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又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2．而a-b=1，所以a+b=2．

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