索洛模型详细推导

Solow模型之详细推导

参考资料： 戴维·罗默 《高级宏观经济学》

龚六堂 《经济增长理论》

研究生一年级 《高级宏观经济学》、《动态优化》课堂笔记

Solow模型含四个变量：产出（Y）、资本（K），劳动（L）、技术进步（A）。

生产函数的形式为：

Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))

满足：

①F( , )二阶连续可微；

； ②F( , )对变量非减且严格凹（即资本和劳动力的边际生产率都是递减的）

③生产函数是常数规模回报的，即对任意λ>0，有

F(λK,λAL)=λF(K,AL)， （1）

从而可得到欧拉（Euler）方程：

F(K,L) F(K,L)F(K,L)=K+L； K L

④生产函数满足Inada条件，即

limFK(K,L)=∞,limFL(K,L)=∞K→0L→0。 limFK(K,L)=0，limFL(K,L)=0K→∞L→∞

通常所讲的Cobbel-Douglas生产函数满足此条件：

Y(t)=A(t)K(t)αL(t)β，0<α,β<1。 规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数。

K11F(F(K,AL)=Y， （2） ,1)=ALALAL

K表示每单位有效劳动的平均资本数量， 令 k=AL

Y表示每单位有效劳动的平均产出 y=AL

那么可将（2）式写为：

y=F(k,1)=f(k)

&L假定储蓄率为s，资本折旧为δ，人口增长率既定，为=n，技术进步率也既L

&A定，设为=g。 A

那么，

&=sY δK。 K

即资本的变化由储蓄（sY）减去折旧掉的资本存量。

人均资本存量的变化为

K&(t)KK(t)&&(t)]&(t)+L(t)A[A(t)Lk(t)== 2 tA(t)L(t)[A(t)L(t)] &(t)&(t)&(t)KK(t)LK(t)A= A(t)L(t)A(t)L(t)L(t)A(t)L(t)A(t) (

从而有

&(t)=sY(t) δK(t) k(t) n k(t) g kA(t)L(t)

&(t)=sy(t) (n+g+δ)k(t) （4） k

方程（4）是Solow模型的关键。

&=0，于是得到 均衡时人均资本存量不再变化，k

sf(k*(t))=(n+g+δ)k*(t)

作图：

k

* kk

图1

如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需的持平投资，则k上升。反之，如果每单位有效劳动的平均实际投资小于所需的持平投资，则k下降。如果两者相等，则k不变。从图中显然可以看出，不管经济初始位于何处，最终总能达到均衡（这一点与Ramsey模型有显著区别）。

根据图1可研究储蓄率s，人口增长率n，技术进步率g的变化对均衡人均资本存量的影响。具体讨论参见罗默书。

资本的黄金积累率

这是求一储蓄率，在这一储蓄率下，均衡时居民的人均消费水平达到最大化。这时的人均资本存量称为黄金律资本存量水平。

maxc(s)=f(k*) sf(k*)=f(k*) (n+g+δ)k*， s

特别要注意的是其中的每个k*均是均衡资本存量，显然k*也为s的函数， 由一阶条件：

c(s) k*

*=[f′(k) (n+g+δ)]， s s

故黄金律的资本存量水平k**必须满足

f′(k**)=(n+g+δ)。

（黄金积累率是资本存量的所有平衡增长路径当中的最佳路径。）

)

k

**k

k图2