工程数学-线性代数第五版答案02

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3

x2 3y1 y2 5y3 x3 3y1 2y2 3y3

求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知

x1 221 y1

x2 315 y2

x 323 y

2 3

1

y 1 221 x1 7 49 y1

故 y2 315 x2 63 7 y2

y 323 x 32 4

3 y3 2

y1 7x1 4x2 9x3

y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3 x1 2y1 y3

x2 2y1 3y2 2y3 x3 4y1 y2 5y3

y1 3z1 z2

y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

2 已知两个线性变换

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知

x1 201 y1 201 31

x2 232 y2 232 20

x 415 y 415 0 1

2 3

613 z1 12 49 z2

10 116 z 3

0 z1

1 z2 3 z3

x1 6z1 z2 3z3

所以有 x2 12z1 4z2 9z3

x3 10z1 z2 16z3

111 123

3 设A 11 1 B 1 24 求3AB 2A及ATB

1 11 051 111 123 111

解 3AB 2A 3 11 1 1 24 2 11 1

1 11 051 1 11

058 111 21322

3 0 56 2 11 1 2 1720

290 1 11 429 2 111 123 058 T

AB 11 1 1 24 0 56

1 11 051 290

4 计算下列乘积

431 7

(1) 1 23 2

570 1

431 7 4 7 3 2 1 1 35

解 1 23 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6

570 1 5 7 7 2 0 1 49 3

(2)(123) 2

1 3

解 (123) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)

1

2

(3) 1 ( 12)

3

2 ( 1)2 2 24 2

解 1 ( 12) 1 ( 1)1 2 12

3 3 ( 1)3 2 36

131 0 12 2140 (4) 1 31

1 134 40 2

131

0 12 6 78 2140 解 1 31 20 5 6

1 134

40 2

a11a12a13 x1

(5)(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

解

a11a12a13 x1

(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

x1

(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3) x2

x 3

5 设A

22

a11x12 a22x2 a33x3 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3

1

12 B 1

13 0 问

2

(1)AB BA吗? 解 AB BA 因为AB

3

44 BA 1

36 2 所以AB BA

8

(2)(A B)2 A2 2AB B2吗?

解 (A B)2 A2 2AB B2 因为A B 但

2

22 5 2 2

25

2(A B)2 2

2 814

1429 5 38 68 1A2 2AB B2 411 812 3

0 1016

1527 4

所以(A B)2 A2 2AB B2 (3)(A B)(A B) A2 B2吗? 解 (A B)(A B) A2 B2 因为A B 而

2

22 A B 0

05 2

1

22 02 06

(A B)(A B) 25 01 09

38 10 28

A2 B2 411 34 17

故(A B)(A B) A2 B2

6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A2 0 则A 0 解 取A

0 01 0

1 则A2 0 但A 0 0

1 则A2 A 但A 0且A E 0

(2)若A2 A 则A 0或A E 解 取A

(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取

1A 0 0 X 11 Y 1

11 00 1

1

则AX AY 且A 0 但X Y 7 设A 解

10 求A2 A3 Ak

1

10 10 10 A2 1 1 2 1

10 1A3 A2A 2 1

0 10

1 3 1

10

Ak k 1

10

8 设A 0 1 求Ak

00

解 首先观察

10 10 22 1 A2 0 1 0 1 0 22

00 00 00 2

33 23

A3 A2 A 0 33 2

00 3 44 36 2

A4 A3 A 0 44 3

00 4 55 410 3

A5 A4 A 0 55 4

00 5

kk k 1k(k 1) k 2 2k

A k

0 k k 1 00 k

用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k时成立，则k 1时，

kk k 1k(k 1) k 2 10 2

Ak 1 Ak A 0 kk k 1 0 1

00 00 k

k 1(k 1) k 1(k 1)k k 1 2 0 k 1(k 1) k 1 k 1

00 kk k 1k(k 1) k 2 2Ak 0 kk k 1

00 k

由数学归纳法原理知

9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为AT A 所以

(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 从而BTAB是对称矩阵

10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA

证明 充分性 因为AT A BT B 且AB BA 所以 (AB)T (BA)T ATBT AB

即AB是对称矩阵

必要性 因为AT A BT B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T BTAT BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 解

1

22 5

2 |A| 1 故A 1存在 因为

5

1A 2

A11A21 5 2 A* AA 21

1222

故 (2)

5 2

A 1 1A* 21

|A|

cos sin

sin cos

co s sin |A| 1 0 故A 1存在 因为

解 A sins co

所以

A11A21 co ssin

A* AA sin co s 1222

co ssin A 1 1A* sin co s|A|

12 1

(3) 34 2

5 41

12 1

解 A 34 2 |A| 2 0 故A 1存在 因为

5 41

A11A21A31 420

136 1 A* AAA

122232 3214 2

A13A23A33

210 13 11 1

所以 A 3 A*

22 |A| 167 1

a1a 0 2

(4) (a1a2 an 0)

0an

a1 0 a

2

解 A 由对角矩阵的性质知

0 a n 1 a1 0 1a 12 A 10 a n

12 解下列矩阵方程 (1)

2 15 X 4 6

21 3

5 4 6 3 5 4 6 2 23

21 12 21 08 3

1

2 解 X 1

21 1 1 13

(2)X 210 432

1 11

解

21 1 1 13 210 X

432 1 11

1

(3)

101 1 131 23 2

3 432 330

221 82 5

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