【精选】2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3练习

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【精选】2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3练习

课后篇巩固探究

A 组

1.顺序和S 、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()

A.S ≤S'≤S″

B.S ≥S'≥S″

C.S ≥S″≥S'

D.S ≤S″≤S'

.

2.设x ,y ,z 均为正数,P=x 3+y 3+z 3,Q=x 2y+y 2z+z 2

x ,则P 与Q 的大小关系是()

A.P ≥Q

B.P>Q

C.P ≤Q

D.P<Q

x ≥y ≥z>0,则x 2≥y 2≥z

2,则由排序不等式可得顺序和为P ,乱序和为Q ,则P ≥Q.

3.若a<b<c ,x<y<z ,则下列各式中值最大的一个是()

A .ax+cy+bz

B .bx+ay+cz

C .bx+cy+az

D .ax+by+cz

a<b<c ,x<y<z ,

由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,

得顺序和ax+by+cz 最大.故选D .

4.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1+a 2=b 1+b 2=1,则下列代数式中最大的是()

A.a 1b 1+a 2b 2

B.a 1a 2+b 1b 2

C.a 1b 2+a 2b 1

D.

a 1

b 1+a 2b 2+a 1b 2+a 2b 1=(a 1+a 2)(b 1+b 2)=1,a 1b 1+a 2b 2-a 1b 2-a 2b 1=(a 1-a 2)(b 1-b 2)>0,

∴a 1b 1+a 2b 2>a 1b 2+a 2b 1.

2 / 6且a 1b 1+a 2b 2>>a 1b 2+a 2b 1.

又1=a 1+a 2≥2,∴a 1a 2≤.

∵0<a 1<a 2,∴a 1a 2<.同理b 1b 2<,

∴a 1a 2+b 1b 2<.

∴a 1b 1+a 2b 2>>a 1a 2+b 1b 2,

∴a 1b 1+a 2b 2最大.

5.已知a ,b ,c ∈R +,则a 2(a 2-bc )+b 2(b 2-ac )+c 2(c 2

-ab )()

A.大于零

B.大于或等于零

C.小于零

D.小于或等于零

a ≥

b ≥c>0,则a 3≥b 3≥

c 3,根据排序原理,

得a 3×a+b 3×b+c 3×c ≥a 3b+b 3c+c 3a.

因为ab ≥ac ≥bc ,a 2≥b 2≥c 2,

所以a 3b+b 3c+c 3a ≥a 2bc+b 2ca+c 2ab.

所以a 4+b 4+c 4≥a 2bc+b 2ca+c 2ab ,

即a 2(a 2-bc )

+b 2(b 2-ac )+c 2(c 2-ab )≥0.

6.设a 1,a 2,a 3,a 4是1,2,3,4的一个排序,则a 1+2a 2+3a 3+4a 4的取值范围是.

1+2a 2+3a 3+4a 4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,

最小值为反序和×3+3×2+4×1=20.

7.如图所示,在矩形OPAQ 中,a 1≤a 2,b 1≤b 2,若阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积之和为S 2,则S 1与S 2的大小关系是.

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,S 1=a 1b 1+a 2b 2,而S 2=a 1b 2

+a 2b 1,根据顺序和≥反序和,得S 1≥S 2. 1≥S 2

8.若

a ,

b ,

c 为正数,求证a 3+b 3+c 3

≥3abc.

a ≥

b ≥c>0,则a 2≥b 2≥

c 2>0,

由排序不等式,得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,c 3+b 3≥c 2b+cb 2,a 3+c 3≥a 2c+ac 2, 三式相加,得2(a 3+b 3+c 3)≥a (b 2+c 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2).

因为a 2+b 2≥2ab ,c 2+b 2≥2cb ,a 2+c 2≥2ac ,

所以2(a 3+b 3+c 3)≥6abc ,

即a 3+b 3+c 3≥3abc (当且仅当

a=b=c 时,等号成立). 9.设a ,b 均为正数,求证.

a ≥b>0,则a 2≥

b 2>0,>0,

由不等式性质,得>0.

则由排序不等式,可得,即. 10.设a ,b ,c 都是正数,求证a+b+c ≤

.

a ≥

b ≥c>0.

由不等式的性质,知a 2≥b 2≥c 2,ab ≥ac ≥bc. 根据排序原理,得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3

b.①

又由不等式的性质,知a 3≥b 3≥c 3,且a ≥b ≥c.

再根据排序原理,得a 3c+b 3a+c 3b ≤a 4+b 4+c 4.②

4 / 6由①②及不等式的传递性,得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4

. 两边同除以abc ,得a+b+c ≤(当且仅当a=b=c 时,等号成立).

B 组

1.设a ,b ,c>0,则式子M=a 5+b 5+c 5-a 3bc-b 3ac-c 3

ab 与0的大小关系是()

A .M ≥0

B .M ≤0

C .M 与0的大小关系与a ,b ,c 的大小有关

D .不能确定

a ≥

b ≥c>0,则a 3≥b 3≥

c 3,且a 4≥b 4≥c 4,则

5=a ·a 4+b ·b 4+c ·c 4≥a ·c 4+b ·a 4+c ·b 4.

又a 3≥b 3≥c 3,且ab ≥ac ≥bc , ∴a 4b+b 4c+c 4a=a 3·ab+b 3·bc+c 3·ca

≥a 3

bc+b 3ac+c 3

ab. ∴a 5+b 5+c 5≥a 3bc+b 3ac+c 3ab.∴M ≥0.

2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β

+sin 2γ),则()

A.F>0

B.F ≥0

C.F ≤0

D.F<0

0<α<β<γ<,

所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,

由排序不等式可知,

sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ,

而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)

5 / 6=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.

3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min 、8 min 、6 min 、10 min 、5 min,每台机床停产1 min 损失5元,经合理安排损失最少为()

A.420元

B.400元

C.450元

D.570元

1台到第5台的修复时间依次为t 1,t 2,t 3,t 4,t 5,若按照从第1台到第5台的顺,则修复第一台需要t 1分钟,则停产总时间为5t 1,修复第2台需要t 2分钟,则停产总时间为4t 2,…,修复第5台需要t 5分钟,则停产总时间为t 5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使

5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5取最小值.由排序不等式可知,当t 1<t 2<t 3<t 4<t 5时,5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5取最小值,最小值为5×4+4×5

+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.

4.导学号26394058在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边依次为a

,b ,c ,试比较

的大小关系.

a ≥

b ≥

c ,则有A ≥B ≥C.

由排序不等式,可得aA+bB+cC ≥aA+bC+cB ,

aA+bB+cC ≥aB+bA+cC ,

aA+bB+cC ≥aC+bB+cA.

将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC )≥(a+b+c )(A+B+C )=(a+b+c )π. 所以

. 5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x 2+…+x

2n ≥(2n+1)x n .

x ≥1时,因为1≤x ≤x 2≤…≤x n ,

所以由排序原理得1·1+x ·x+x 2·x 2+…+x n ·x n ≥1·x n +x ·x n-1+…+

·x+x n ·1, 即1+x 2+x 4+…+

≥(n+1)x n .① 又x ,x 2,…,x n ,1为序列1,x ,x 2,…,x n 的一个排列,

所以1·x+x ·x 2+…+x n-1x n +x n ·1≥1·x n +x ·x n-1+…+x n-1·x+x n

·1,

因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n,②

①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③

当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,

故③也成立.综上,原不等式成立.

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