概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题

系专业班 姓名学号 第七章 参数估计（一）

一、选择题：

1矩估计必然是 [ C ] （A）无偏估计 （B）总体矩的函数 （C）样本矩的函数 （D）极大似然估计

2．设X1,X2是正态总体N( ,1)的容量为2的样本， 为未知参数， 的无偏估计是 [ D ] （A）

24123123X1 X2 （B）X1 X2 （C）X1 X2 （D）X1 X2 33444455

3．设某钢珠直径X服从正态总体N( ,1)（单位：mm），其中 为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值X 31.06，样本方差S9 0.98，则 的极大似然估计值为 [ A ]

（A）31.06 （B）(31.06 0.98 , 31.06 + 0.98) （C）0.98 （D）9×31.06 二、填空题：

2

2

都是总体未知参数 的估计量，称 比 有效，则 与 的期望与方差 1．如果 1与 21212

一定满

足 E E ,D D 12122．设样本x1 0.5,x2 0.5,x3 0.2来自总体X~f(x, ) x数 时，似然函数为L( ) 3(0.05) 1

3．假设总体X服从正态分布N( , ),X1,X2 ,Xn(n 1)为X的样本，

2

C (Xi 1 Xi)2是 2的一个无偏估计，则C i 1n 1

1

，用最大似然法估计参

2

1

2(n 1)

三、计算题：

1．设总体X具有分布律，其中 (0 1)为未知参数，

已知取得了样本值x1 1,x2 2,x3 1，试求

三、1.解：该样本的似然函数为 L( ) 4 2 (1 ) 2 5 2 6. 令L'( ) 0得

5

.6

1

2．设X1,X2, ,Xn是来自于总体X~f(x)

0

0 x 其它

( 0)的样本,

试求：（1） 的一个无偏估计 1；（2） 的极大似然估计 2.

2X, E( ) 2E(X) 2 2、(1)E(X) X 22

的一个无偏估计为2X.

(2)似然函数为：L( ;X1, ,Xn) n,0 Xi ,i 1, ,n

显然L是 的一个单值递减函数.

要使（L ;X1, ,Xn） n达到极大，就要使 达到最小，但

不能小于每一个Xi( i 1,2,3 ,n),

所以 的极大似然估计量为： 2 max{X1,X2, ,Xn}.

( 1)x

3．设总体X的概率密度为f(x)

0

0 x 1其它

，其中 1是未知参数，

X1,X2, ,Xn为一个样本，试求参数 的矩估计量和最大似然估计量。

3、 ①EX x ( 1)x dx

01

1

, 2

用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，即X EX

1 2X 1.故 的矩估计量为2X 1.,得 21 X1 X

ni 1

②设似然函数L( ) ( 1)x i即lnL( ) nln( 1) lnxi

i 1n

则

dlnL( )ndlnL( ) lnxi，令 0d 1i 1d

n 1 得 Ln

lnxi

n

i 1

*4. 设x1,x2, ,xn为来自正态总体N( 0, )的简单随机样本，其中 0已知， 2>0未知，

2

2（2）2

（1）求 的极大似然估计 ；，计算X和S2分别表示样本均值和样本方差。 2和D 2。(考研题 2002)

E

概率论与数理统计练习题

系专业班 姓名学号 第七章 参数估计（二）

一、选择题：

1．设总体X服从正态分布X~N( , )，其中 未知, 2已知，X1,X2, ,Xn为样本，

2

1n

X Xi

ni 1

[ D ]

，则

的置信水平为0.95的置信区间是

（A

）(X Z0.95

,X Z0.95

（B

）(X Z0.05

,X Z0.05

（C

）(X Z0.975

,X Z0.975

2

（D

）(X Z0.025

,X Z0.025

2．设总体X~N( , )，对参数 或 2进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]

n

X （A

（B

（C） i （D）n X1

i 1

2

二、计算题：

1．设总体X的方差为(0.3)，根据来自X的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

二、(X Z0.025,X Z0.025) (21.525,22.075).

2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N( , )，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差 2的0.90的置信区间。

2

2

三、1.解： 未知，求 2置信水平为1 的置信区间为(n 1)S2(n 1)S2 (2,2).

/2(n 1) 1 /2(n 1)

2

这里n 10,S2 75.73, 0.1, 0.05(9) 16.919,2 0.95(9) 3.325.

代入 2得的置信区间为(40.284,204.984).

3．设来自总体X~N( ,25)得到容量为10的样本，算的样本均值X 19.8，来自总体

Y~N( ,36)得到容量为10的样本，算的样本均值Y 24.0，两样本的总体相互独立，求

1 2的90%的置信区间。

22

解： 1, 2均已知,求 1 2置信水平为1 的置信区间为 Y (X Y

22

这里n1 n2 10,X 19.8,Y 24.0, 1 25, 2 36, 0.1, Z

0.05 1.645. 代入 1 2得的置信区间为( 8.2628, 0.1372).

4．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。

22

解： , 未知,求 / 1212置信水平为1 的置信区间为

S12S1211

(,) 22

S2F /2(n1 1,n2 1)S2F1 /2(n1 1,n2 1)

2

这里n1 25,n2 21,S12 7.89,S2 5.07, 0.05,F0.025(24,20)

11

F(24,20) . 0.975

F0.025(20,24)2.33

2

代入 12/ 2的置信区间为(0.6457,3.6260).