高一数学平行关系2(线面平行的性质)

线面平行的性质

复习

直线与平面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行. 线平行，则该直线与此平面平行.a

α

b

a α α a // α b≠ a // b 线面平行. 空间问题

性质定理可概括为:线线平行 平面问题

证明直线与平面平行，三个条件必须具备， 证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论. 到线面平行的结论.

思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直 线与这个平面内的直线位置关系如何？a c

α

b

那么直线a会与平面α内那些线平行呢？

思考： 思考： 教室内日光灯管所在直线与地面平行， 平行，如何在地面上作一条直线与灯管所 在的直线平行？ 在的直线平行？怎样作平行 β 线？

α

l a a

如果一条直线和一个平面平行， 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 试用文字语言将上述原理表述成一个命题 线的平面和这个平面相交， 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 交线平行. 交线平行.

已知: 直线 a∥α 求证: a//b 证明 ∵ a∥α又因为b在α内

a β α∩ β =b ≠βa b

∴ a与α 没有公共点

α 又 Q a与 b都在平面 β内

∴ a与b没有公共点

∴ a // b

且没有公共点

a b α

β

符号语言: 符号语言:

a∥ αα Iβ =b

a≠

β

a∥b

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面 线面平行的性质定理：平行, 平行,那么经过这条直线的任意一个平面与已知 平面的交线与这条直线平行。 平面的交线与这条直线平行。上述定理可简述为“ 上述定理可简述为“线面平行 线线平行” 线线平行”.

关键： 寻找平面与平面的交线。 关键： 寻找平面与平面的交线。 注意： 三个条件缺一不可！ 注意： 三个条件缺一不可！

课堂练习： 课堂练习：1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线 如果一条直线和一个平面平行， 如果一条直线和一个平面平行 ( D ) A 只和这个平面内一条直线平行； 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。 和这个平面内的任意直线都不相交。

课堂练习： 课堂练习：2.在四面体 在四面体ABCD中，E、F分别是 、 中 、 分别是AB、 在四面体 分别是 AC的中点，过直线EF作平面 ，分别 的中点，过直线 作平面α, 的中点 作平面 交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN. 、 于 、 ,求证： ∥A E B F M C N D 小结

例2:

已知平面外两条平行直线中的一条平行 已知平面外两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证 另一条也平行于这个平面. 于这个平面 求证:另一条也平行于这个平面 求证 另一条也平行于这个平面如图：已知直线 如图：已知直线a, b都在平面α外， 都在平面 且a∥b, a∥α , a 求证： 求证：b∥α

b

α

如图：已知直线 如图：已知直线a, b都在平面α外， 都在平面 且a∥b, a∥α , β 求证： 求证：b∥α

a

b

证明： 证明：过a做平面 β 交 α 于c

α ∩β =c说明： 说明：

a≠

a // α

β

a//c a//b

c ≠α

α b//c

c

线//线 //线 //面 线//面 转化是立体几何的一种重要的思想方法! 转化是立体几何的一种重要的思想方法

b α

b // α

课堂练习： 课堂练习：3.以下命题(其中a,b表示直线，α表示平面) 以下命题(其中 ， 表示直线 表示直线， 表示平面) 以下命题

其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

①若a∥b,b α,则a∥α ∥ , ≠ ∥ ②若a∥α,b∥α,则a∥b ③若a∥b,b∥α,则a∥α ④若a∥α,b α,则a∥b ≠

设平面α、β、γ两两相交，且 两两相交， 例3.设平面 设平面 两两相交

α ∩ β = a,β ∩ γ = b, γ ∩ α = c ,若a∥b,求证：b∥c . ∥ ,求证： ∥aαγ

c

bβ

证明平行的 转化思想： 转化思想：

小结(1)平行公理 (1)平行公理 (2)三角形中位线 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 (5)平行四边形对边平行 关键：构造平行线 关键：

线//线 //线关键：构造交线 关键：

线//面 //面

平行于面A′C′. 例4:一块木料如图，已知 平行于面 ：一块木料如图，已知BC平行于面 . (1)要经过木料表面 )要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱 将木料锯开，应怎样画线？ 和棱BC将木料锯开 内的一点 和棱 将木料锯开，应怎样画线？ 有什么关系？ (2)所画的线和面 有什么关系？ )所画的线和面AC有什么关系

小结

例5方 ABCD- 1B C1D中 点 ∈BB1 异 B、 1) A 1 长 体 ( 于 B 1 , P PAI BA = M, PC I BC1 = N, 1 证 M 求 ： N // 平 ABCD 面D1 C1

A1

B1

P M D N C

A

B

小结

证明: 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质PM PB PBM∽ AA1 M = MA AA1 PN PB PBN ∽ CC1 N = NC CC1A A1

D1

C1

B1

P M D N C

B

PM PN = AC // MN MA NC

CC1 = AA1

MN 面ABCD AC 面ABCD

MN // 面ABCD

小结