高考数学(理)一轮复习课时训练：6.2一元二次不等式及其解法(含答

第六章 第33讲

1．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( C )

A ．[15,20]

B ．[12,25]

C ．[10,30]

D ．[20,30]

解析：矩形的一边长为x m ，则由相似三角形可得其邻边长为(40－x )m ，故矩形面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ，由S ≥300，得－x 2＋40x ≥300，解得10≤x ≤30.

2．(2013·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．

解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.

当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x .

又f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝????? x 2－4x ， x ＞0，0， x ＝0，

－x 2－4x ， x ＜0.

①当x >0时，由f (x )>x ，x 2－4x >x ，解得x ＞5；

②当x ＝0时，f (x )＞x 无解；

③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.

综上得不等式f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．

3．(2012·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.

解析：由条件得a 2－4b ＝0，c >0，从而f (x )＝????x ＋a 22，所以不等式f (x )<c 的解集为－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c ，故??? －a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，两式相减，得c ＝3，c ＝9.

4．(2012·浙江卷)设a ∈R ，若x ＞0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝32

. 解析：①当a ＝1时，不等式可化为x 2－x －1≤0.由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.

②当a <1时，∵x ＞0，∴(a －1)x －1<0，不等式可化为x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2

－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a <1不成立．

③当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)，

∵a ＞1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为???

?1a －1，0， 即当x ∈???

?0，1a －1时， f (x )＜0，当x ∈???

?1a －1，＋∞时，f (x )＞0. 又∵二次函数g (x )＝x 2 －ax －1的对称轴为x ＝a 2

＞0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点????1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即???

?1a －1，0在g (x )图象上，所以有????1a －12－a a －1

－1＝0，整理得2a 2 －3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)． 综上可知a ＝32

.