新课标高考数学理一轮复习课件：6.7 数学归纳法

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一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： 证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (1)(归纳奠基)______________________________ (2)(归纳递推)______________________________ 假设n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时结论也成立 . ______________________________ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始 数学归纳 的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做_________ __ 法.

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1 1. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n 2 -3)条时，第一步检验 n 等于 A.1 B.2 解析：第一步应为n=3. 答案：C

C.3

( ) D.0

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n 2 1 - a 2.用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+ 1= 1-a+

(a≠0), 在验证 n=1 时， 等式左端计算所得的项是

(

)

A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析：n=1时，左边为1+a+a2. 答案：C

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1 1 1 1 3. 设 f(n)= + + +…+ (n∈N*), 那么 2n n+1 n+2 n+3 f(n+1)-f(n)等于 1 A. 2n+1 1 1 C. + 2n+1 2n+2 1 B. 2n+2 ( )

1 1 D. - 2n+1 2n+2 1 1 1 解析：f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1

1 1 = - . 2n+1 2n+2 答案 D

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4.设函数f(n)=(2n+9)3n+1+9.当n∈N*时，若f(n)能 被m整除，猜想m的最大值为 ( ) A.9 B.18 C.27 D.36 解析：因为f(1)=11×32+9=11×9+9=12×9, f(2)=(4+9)×33+9=13×33+9=40×9,故猜想m =36. 答案：D

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在应用数学归纳法证明时： 第一步：验证n=n0时，n0不一定为1,根据题设， 有时可为2,3等. 第二步：证明n=k+1时命题也成立，一定要用n =k的假设结论，否则不是数学归纳法.

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考点一 证明等式问题 【案例1】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 + +…+ = + +…+ 1 × 2 3× 4 2n-1 · 2n n+1 n+21 . n+n 关键提示：注意证明n=k+1时，左右两边均产生变化. 1 1 1 证明：(1)当 n=1 时，左边= = ,右边= , 2 1× 2 2

等式成立.

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(2)假设当 n=k 时，等式成立， 1 1 1 1 1 1 即 + +…+ = + +…+ . 2k 1×2 3×4 2k-1 · 2k k+1 k+2 则当 n=k+1 时， 1 1 1 1 + +…+ + 1×2 3×4 2k-1 · 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 = + +…+ + 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2

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1 1 1 1 1 1 = + +…+ + 2k+1-2k+2 + 2k k+2 k+3 k+1 1 1 1 1 1 = + +…+ + + 2 k k+2 k+3 2k+1 2k+2 1 1 1 = + + … + + k+1 +1 k+1 +2 k+1 +k 1 , k+1 + k+1 即当 n=k+1 时，等式成立. 根据(1)(2)可知，对一切 n∈N*,等式成立.

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【即时巩固1】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 n + + +…+ = .(其中 n 2×4 4×6 6×8 2n 2n+2 4 n+1 ∈N*)1 1 证明：(1)当 n=1 时，等式左边= = , 2×4 8 1 右边= , 8 所以等式成立

. 假设 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立， 即 1 1 1 1 k + + +…+ = 成立， 2×4 4×6 6×8 2k 2k+2 4 k+1

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那么当 n=k+1 时， 1 1 1 1 + + + … + + 2× 4 4× 6 6×8 2k 2k+2 1 2 k+1 [2 k+1 +2] k k+2 +1 k 1 = + = 4 k+1 4 k+1 k+2 4 k+1 k+2 k+1 2 k+1 = = , 4 k+1 k+2 4[ k+1 +1] 即 n=k+1 时等号成立. 由(1)、(2)可知，对任意 n∈N*等式总成立.

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考点二 证明不等式问题 【案例2】 用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1+ 2+ 2+…+ 2<2-n(n≥2). 2 3 n 2 关键提示： 可以利用 a2 = a k k+1+ak+1-1 实现 ak 到 ak+1,ak+1 到 ak+2 的转化.

1 5 1 3 证明： (1)当 n=2 时， 1+ 2= <2- = , 命题成立. 2 4 2 2

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(2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥2)时命题成立， 1 1 1 1 即 1+ 2+ 2+…+ 2<2-k. 2 3 k 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时，1+ 2+ 2+…+ 2+ <2-k+ 2 3 k k+1 2 1 1 1 1 1 1 1 <2-k+ =2-k+k- = 2- , k+1 2 k k+1 k+ 1 k+ 1 命题成立. 由(1)(2)知原不等式在 n≥2 时恒成立.

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5 a2 n 【即时巩固 2】 数列{an}中，a1= ,an+1= (n 2 2 an-1 ∈N*),用数学归纳法证明：an>2(n∈N*). 5 证明：(1)当 n=1 时，a1= >2,不等式成立. 2

(2)假设当 n=k 时不等式成立， 即 ak>2(k∈N*),2 a - 2 a2 k k 则 ak+1-2= -2= >0, 2 ak-1 2 ak-1

所以 ak+1>2. 当 n=k+1 时，不等式也成立. 综上(1)(2),不等式对所有正整数都成立.

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考点三 证明整除问题 【案例3】 用数学归纳法证明：f(n)=3· 52n+1+23n+ 1(n∈N*)能被17整除. 关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k +1时常使用拼凑法. 证明：(1)当n=1时， f(1)=3×53+24=391=17×23, 故f(1)能被17整除，命题成立. (2)假设n=k(k≥1)时，命题成立. 即f(k)=3· 52k+1+23k+1能被17整除，