最新湘教版3.6位似(1)

湘教版数学九年级上册本节内容 3.6

位 似(1)

动脑筋 如何把一个图形放大或缩小？下面我们来学习一种 简单可行的方法.下图是运用幻灯机(点O表示光源)把幻灯片上的一只小狗 放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？这两个图形的形状 相同，但大小不同，它 们是相似图形.

在图中的左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别取点 A,

B. 右边小狗的头顶和狗尾巴尖上的点A′,B′分别为点A和点B的对应点.

此时我们会发现点A ,A′与点O在一条直线上，点B , B′与点O也在一条直线上.

分别量出线段OA,OA′,OB,OB′的长度，计 算(精确到0.1):

OA = OA

OB = , OB

.

继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，我们会发 现每一对对应点都与点 O在一条直线上，且每一对对应点 与点O所连线段的比与上述 OA ,OB 的值相等.OA OB

结论

如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在

的直线都经过同一个点O,同时每组对应点到点O的长度之比等于一个非零的常数k,那么这样的两个图形叫做位似 图形.这个点O叫做位似中心,常数k叫作位似比. 注意： 当|k|>1时，即将原图形放大； 当0<|k|<1时，即将原图形缩小。

生活中的位似

注意

A

A′

C

B C ′

位似与相似的区别：

B′

1.位似是一种具有位置关系的相似，是相似图形的 一种特殊情形。 2.位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是 位似图形。 3.两个位似图形的位似中心只有一个。 4.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能 位于位似中心的一侧。

议一议 上图中，连接AB, A′B′,可以得到下图， 则AB∥A′B′吗？OA OB ∵ OA OB , ∠AOB=∠A′OB′,

∴ △OAB∽△OA′B′. ∴ ∠OAB = ∠OA′B′. ∴ AB∥A′B′.

两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.

利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.

结论

位似图形的性质：1.位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似 图形的一切性质; 2.位似图形上对应点和位似中心在同一直线上；

3.位似图形上的对应边平行或共线；4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都 等于位似比.

随堂练习1. 判断下列各组图形哪些是位似图形，哪些不是.

(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′

√

(2)正方形ABCD与正方A′B′C′D′

×

(3)等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′

√

(4)直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′A A′

×C B C′ B′

O

P

(1)

√

(2)

×

(3)

√

位似图形的判断标准： (1)两个图形是相似图形； (2)两个相似图形每组对应点所在的

直线都经过 同一点(位似中心);

2.作出下列位似图形的位似中心：

O

O

作位似图形的位似中心的方法：在两个位似图形分别连接任意两对对应点并延长， 其交点就是这两个位似图形的位似中心.

例如，如下图，要把△ABC放大为原来的2倍，我们可以在三角形外任意取一点O, 连接OA,OB,OC,

分别在线段OA,OB,OC 的延长线上取点 A , B , C , OA OB OC B ,C , 使得 2, 依次连接点A , OA OB OC 所得到的 △A B C 就是所要求的图形.

同 向 位 似

A ●

A O● ●

C B●

C

B