第七章 向量代数与空间解析几何 第1节 空间直角坐标系

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§1 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标z 竖轴

三个坐标轴的正方向符合右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系. 右手系 即以右手握住 z 轴，当 右手的四个手指从正向 x 定点 o 轴以 π / 2角度转向正向 y y 纵轴 轴时， 轴时，大拇指的指向就 轴的正向. 是 z 轴的正向. 横轴 x 空间直角坐标系

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Ⅲ

z

zox 面Ⅱ

yoz 面Ⅳ

xoy 面Ⅶ Ⅷ

o

yⅥ Ⅴ

Ⅰ

x

空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限 .

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八个卦限中的点的坐标有如下特点 : 卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 点的坐标(x 点的坐标 , y , z) x>0,y>0,z>0 x<0,y>0,z>0 x<0,y<0,z>0 x>0,y<0,z>0 卦限 Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 点的坐标(x 点的坐标 , y , z) x>0,y>0,z<0 x<0,y>0,z<0 x<0,y<0,z<0 x>0,y<0,z<0

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空间的点 M ← → 有序数组 ( x , y , z ) 特殊点的表示: 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R

1 1

坐标面上的点 A , B , C

O ( 0 , 0 , 0)B ( 0, y , z )

zR(0,0, z )

C ( x , o, z )

M ( x, y, z)

o

Q ( 0 , y ,0 )

y

x

P ( x , 0, 0 )

A( x , y ,0)

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二、空间两点间的距离设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点 ,

z

R M 2M1

d = M1 M 2 = ?在直角 M 1 NM 2 及直 角 M 1 PN 中, 使用勾

QN2

Po

y 股定理知∵ d = M 1 N + NM 2 ,2 2

x

又

M 1 N = M 1 P + PN ,2 2 2

∴ d 2 = M1P + PN + NM2 .2 2 2

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∵ M 1 P = x2 x1 , PN = y2 y1 , NM 2 = z2 z1 ,x

z

RM1

M2

Q

P o2 2

N

y

∴ d=

M 1 P + PN + NM 22

M1M2 =

( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 ) .2 2 2

空间两点间距离公式 特殊地： 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0 , 0 , 0)d = OM =

x2 + y2 + z2 .

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例1 求证以三点 M 1 (4 , 3 , 1) , M 2 (7 , 1 , 2) , M 3 (5 , 2 , 3) 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 ∵ M 1 M 2 2 = (7 4)2 + (1 3)2 + ( 2 1)2 = 14 ,

M 2 M 3 = (5 7 )2 + ( 2 1)2 + ( 3 2)2 = 6 ,2

M 3 M 1 = (4 5) + ( 3 2) + (1 3) = 6 ,2 2 2 2

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,

原结论成立. 原结论成立.

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轴上， 例2 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0 , 2 , 3)的距离为到点 的距离的两倍,求 点的坐标. P2 (0 , 1 , 1) 的距离的两倍 求 P 点的坐标. 解轴上， 因为 P 在 x 轴上 ， 设 P 点坐标为 ( x , 0 , 0) ,

PP1 =PP2 =

x 2 + ( 2 )2 + 32 =

x 2 + 11 ,

x 2 + ( 1) + 12 =2

x2 + 2 ,2

∵ PP1 = 2 PP2 , ∴

x + 11 = 2 x + 22

x = ±1 , 所求点为 (1 , 0 , 0) , ( 1 , 0 , 0) .

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三、小结

卦限) 空间直角坐标系 (轴、面、卦限 轴(注意它与平面直角坐标系的区别) 注意它与平面直角坐标系的区别 注意它与平面直角坐标系的区别

空间两点间距离公式M 1 M 2 = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2 + ( z2 z1 )2 .