《有限元基础教程》_【MATLAB算例】4.7.1(2) 基于3节点三角形单

MATLAB有限元

【MATLAB算例】4.7.1(2) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析(Triangle2D3Node)

如图4-20所示为一矩形薄平板，在右端部受集中力F 100 000N作用，材料常数为：弹性模量E 1 107Pa，泊松比 ，板的厚度t 0.1m。基于MATLAB平台求解该结构的节点位移、支反力以及单元应力。

图4-20

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

（1）结构的离散化与编号

将结构离散为二个3节点三角形单元，单元编号及节点编号如图4-20(b)所示。

（2）计算各单元的刚度矩阵(以国际标准单位)

首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、泊松比NU、薄板厚度t和平面应力问题性质指示参数ID，然后针对单元1和单元2，分别两次调用函数Triangle2D3Node_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)。

>> E=1e7;

>> NU=1/3;

>> t=0.1;

>> ID=1;

>> k1=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,2,0,0,1,0,0,ID)

k1 = 1.0e+006 *

0.2813 0 0 0.1875 -0.2813 -0.1875

0 0.0938 0.1875 0 -0.1875 -0.0938

0 0.1875 0.3750 0 -0.3750 -0.1875

0.1875 0 0 1.1250 -0.1875 -1.1250

-0.2813 -0.1875 -0.3750 -0.1875 0.6563 0.3750

-0.1875 -0.0938 -0.1875 -1.1250 0.3750 1.2188

>>k2=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,1,2,0,2,1,ID)

k2 = 1.0e+006 *

0.2813 0 0 0.1875 -0.2813 -0.1875

0 0.0938 0.1875 0 -0.1875 -0.0938

0 0.1875 0.3750 0 -0.3750 -0.1875

0.1875 0 0 1.1250 -0.1875 -1.1250

-0.2813 -0.1875 -0.3750 -0.1875 0.6563 0.3750

-0.1875 -0.0938 -0.1875 -1.1250 0.3750 1.2188

（3） 建立整体刚度方程

由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为8，因此，结构总的刚度矩阵为KK(8×8)，先对KK清零，然后两次调用函数Triangle2D3Node_Assembly进行刚度矩阵的组装。 >>KK = zeros(8,8);

>>KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,2,3,4);

>>KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k2,3,2,1)

KK = 1.0e+006 *

Columns 1 through 6

0.6563 0.3750 -0.3750 -0.1875 -0.2813 -0.1875

0.3750 1.2188 -0.1875 -1.1250 -0.1875 -0.0938

-0.3750 -0.1875 0.6563 0 0 0.3750

-0.1875 -1.1250 0 1.2188 0.3750 0

-0.2813 -0.1875 0 0.3750 0.6563 0

-0.1875 -0.0938 0.3750 0 0 1.2188

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0 0 -0.2813 -0.1875 -0.3750 -0.1875

0 0 -0.1875 -0.0938 -0.1875 -1.1250

Columns 7 through 8

0 0

0 0

-0.2813 -0.1875

-0.1875 -0.0938

-0.3750 -0.1875

-0.1875 -1.1250

0.6563 0.3750

0.3750 1.2188

（4） 边界条件的处理及刚度方程求解

由图4-20(b)可以看出，节点3和节点4的两个方向的位移将为零，即u3 0,v3 0,u4 0,v4 0，因此，将针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点

2的位移将对应KK矩阵中的前4行和前4列，则需从KK(8×8)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。

>>k=KK(1:4,1:4)

k = 1.0e+006 *

0.6563 0.3750 -0.3750 -0.1875

0.3750 1.2188 -0.1875 -1.1250

-0.3750 -0.1875 0.6563 0

-0.1875 -1.1250 0 1.2188

>>p=[0;-5000;0;-5000]

p = 0 -5000 0 -5000 [这里将列排成了一行，以节省篇幅]

>>u=k\p

u = 0.0188 -0.0899 -0.0150 -0.0842 [这里将列排成了一行，以节省篇幅] 由此可以看出，所求得的结果为：u1 0.018 8,v1 0.089 9,u2 0.015 1,v2 0.084 2。

（5）支反力的计算

由方程(4-183)可知，在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力。先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(8×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(8×1)，按式(4-179)的对应关系就可以找到对应的支反力。

>>U=[u;0;0;0;0];

>>P=KK*U

P = 1.0e+004 *

-0.0000 -0.5000 0 -0.5000 -2.0000 -0.0702 2.0000 1.0702 [这里将列排成了一行] 由式(4-179)的对应关系，可以得到对应的支反力为Rx3 20 000,Ry3 702,Rx4 20 000,Ry4 10 702。

（6）各单元的应力计算

先从整体位移列阵U(8×1)中提取出单元的位移列阵，然后，调用计算单元应力的函数Triangle2D3Node_Stress，就可以得到各个单元的应力分量。

>>u1=[U(3);U(4);U(5);U(6);U(7);U(8)]

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u1 = -0.0150 -0.0842 0 0 0 0

>>stress1=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,2,0,0,1,0,0,u1,ID)

stress1 = 1.0e+005 *

-0.8419 -0.2806 -1.5791 [这里将列排成了一行，以节省篇幅]

>>u2=[U(5);U(6);U(3);U(4);U(1);U(2)]

u2 = 0 0 -0.0150 -0.0842 0.0188 -0.0899 [这里将列排成了一行，以节省篇幅]

>>stress2=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,1,2,0,2,1,u2,ID)

stress2 =1.0e+004 *

8.4187 -2.8953 -4.2094 [这里将列排成了一行，以节省篇幅]

可以看出：计算得到的单元1的应力分量为 x 84 190Pa, y 28 060Pa,

xy 157 910Pa

；单元2的应力分量为 x 84 187Pa, y 28 953Pa, xy 42 094Pa。