2009年高考试题—数学理(江苏卷)解析版

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ试题

参考公式：

1n1n2

样本数据x1,x2,,xn的方差s (xi ),其中 xi

ni 1ni 1

2

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．1.若复数z1 4 29i,z2 6 9i,其中i是虚数单位，则复数(z1 z2)i的实部为 ▲ . [解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念. -20.

2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a| 2,|b|a和向量b的数量积a b=[解析] 考查数量积的运算.a b 2o

3. 2

3.函数f(x) x3 15x2 33x 6的单调减区间为[解析]考查利用导数判断函数的单调性.

f (x) 3x2 30x 33 3(x 11)(x 1)，

由(x 11)(x 1) 0得单调减区间为( 1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 4.函数y Asin( x )（A, , 为常数,A 0, 0） 在闭区间[ ,0]上的图象如图所示，则 = ▲ . [解析] 考查三角函数的周期知识.

32

T ，T ，所以 3. 23

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ▲ .

[解析] 考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2. 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

2

则以上两组数据的方差中较小的一个为s. [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小，数据的平均值为7，

(6 7)2 02 02 (8 7)2 022

. 故方差s

55

2

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W[解析] 考查读懂算法的流程图的能力.22.

.

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的 面积比为1

：4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的 比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法.体积比为1：8.

9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y x 10x 3

3

上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2， 则点P的坐标为

▲ .

[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.

y 3x2 10 2 x 2，又点P在第二象限内，

x 2,点P的坐标为（-2，15）.

10.已知a

1x

，函数f(x) a，若实数m、n满足f(m) f(n)，则m、n的大小关2

系为 ▲ .

[解析] 考查指数函数的单调性.

a

(0,1)，函数f(x) ax在R上递减.由f(m) f(n)得：m<n. 11.已知集合A xlog2x 2,B ( ,a)，若A B，则实数a的取值范围是(c, )，

其中c= ▲ .

[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式. 由log2x 2得0

x 4，A (0,4]；由A B知a 4，所以c 4.

12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （2）若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行；

（3）设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于l，则 和 垂直； （4）直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号） ．．．

[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是(1)(2). ．．．

x2y213.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2 2 1(a b 0)的四个顶点，

abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的

中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .

[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程. 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：

xy

1； ab

xy 1.二者联立解得： c b

T(

2acb(a c)

,)， a ca c

x2y2acb(a c)

,)在椭圆2 2 1(a b 0)上， 则M(

aba c2(a c)

c2(a c)2222

1,c 10ac 3a 0,e 10e 3 0，

22

(a c)4(a c)

解得：e 5.

14．设 an 是公比为q的等比数列，|q| 1，令bn an 1(n 1,2,四项在集合 53, 23,19,37,82 中，则6q= ▲ . [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力.等比数列的通项.

)，若数列 bn 有连续

an 有连续四项在集合 54, 24,18,36,81 ，四项 24,36, 54,81成等比数列，公比为

3

q ，6q= -9.

2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

设向量a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos , 4sin ). （1）若a与b 2c垂直，求tan( )的值； （2）求|b c|的最大值；

（3）若tan tan 16，求证：a∥b.

[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力

.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，E、F分别

D在B1C1上，A1D B1C. 是A1B、AC1的中点，点

求证：（1）EF∥平面ABC；

平面BB1C1C. （2）平面A1FD

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力、推理论证能力

.

17．（本小题满分14分）

设 an 是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2 a3 a4 a5,S7 7.

2

2

2

2

（1）求数列 an 的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得

amam 1

为数列 an 中的项. am 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力. （1）设公差为d，则a2

2

222

，由性质得 3d(a4 a3) d(a4 a3)，因为 a5 a4 a3

d 0，所以a4 a3 0，即2a1 5d 0，又由S7 7得7a1

7 6

d 7，解得2

a1 5，d 2,

(2)（方法一）

amam 1(2m 7)(2m 5)

=,

2m 3am 2

8amam 1(t 4)(t 2)

t 6,所以t为8的约数

. =

ttam 2

设2m 3 t,则

（方法二）因为

amam 1(am 2 4)(am 2 2)8

为数列 an 中的项， am 2 6

am 2am 2am 2

故

8 am+2

为整数,又由（1）知am 2为奇数,所以am 2 2m 3 1,即m 1,2.

经检验,符合题意的正整数只有m 2. 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x 3)2 (y 1)2 4和圆C2:(x 4)2 (y 5)2 4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C

1截得的弦长为l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.

[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.

(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为：y k(x 4 …… 此处隐藏：3206字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……