高中数学竞赛平面几何讲座___四点共圆问题试题

第四讲 四点共圆问题

判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆. 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。 判定定理5：割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，

若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

即：若四边形ABCD内接于圆，则有AB CD AD BC AC BD.

1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，

N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)

A

′

B

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，

△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) O

O1

O2

3

ABC

Q

2 以“四点共圆”作为解题手段 (1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上， ∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA＝∠CKB. CD KM

AB

(2)证线垂直

例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC

外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°. (第26届IMO第五题)

(3)判断图形形状

例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记

为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形. (第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)

IBA

C

A

B

M

(4)计算

例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝2.P为正方形内

一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.则PB=__________

(5)其他

例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大

的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (全国高中联赛)

例8．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS 交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.(1991，江苏省竞赛)

练习题

1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C点，射线O2A 交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.

(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2 四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)

2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.

4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD. (提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)

5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)