电动力学 郭硕鸿 第三版 第14次课( 3.2磁标势)

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1.失势的引入 2.泊松方程

J ( x )dV 矢势的形式解 A V r 4 J ( x ) r B 的解 B A dV 3 4 V r 1 1 n ( A2 A1 ) 3. A 的边值关系 A1 A2 2 1

A J 2

B A

复习

规范条件 A 0

4.稳恒电流磁场的能量

1 W A JdV 2

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§2 磁 标 势Magnetic scalar potential

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一.引入磁标势的两个困难 H = J

1.磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。 2.在电流为零区域引入磁标势可能非单值。 原因：静电力作功与路径无关， E dl 0 L 引入的电势是单值的；而静磁场 H dl 一 L 般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使 在能引入的区域标势一般也不是单值的。

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二.引入磁标势的条件 显然只能在 H 0 区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。

语言表述：引入区域为无自由电流分布的单 连通域。 用公式表示 讨论：

L

H dl 0

L

1)在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2)若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。

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三.磁标势满足的方程1.引入磁标势区域磁场满足的场方程

H 0 B 0 B H M f (H ) 0 0 不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可 讨论铁磁介质或非线性介质。

2.引入磁标势 m

H m

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3. m满足的泊松方程 B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0

2 H m M 与静电场 02

m M2

比较

m 0 M m m 02

m H

0

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4.边值关系

m1 S m2 S

n ( B2 B1 ) 0

1 ( 1m ) 2 ( 2m ) (B H ) n S n S H m

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四.静电场与静磁场方程的比较 静电场 静磁场 E 0 E f P 0 P P D 0 E P E 2 f P f ( , D E ) 0

H 0 H m 0 m 0 M B 0 ( H M ) H m 2 m m 0

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静电势与磁标势的差别：① 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。 ②虽然磁场强度与

电场强度表面上相对应，但从物 理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相 当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。 ③ 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。

对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它 们由磁荷构成，不能分开。注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子 电流观点不能同时使用。

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那么，磁单极子到底存不存在呢？1931年，著名的英国物理学家 狄拉克首先从理论上用极精美的数学物理公式预言，磁单极子是可 以独立存在的。 随着磁单极子的提出，科学界由此掀起了一场寻找磁单极子的 狂潮。人们绞尽脑汁，采用了各种各样的方法，去寻找这种理论上 的磁单极子。

最终都没有得到很确凿的认证。

当然，要找到磁单极子，并不是件简单容易的事情，而是一项 长期而艰巨的任务，仍然要付出许多时间和精力，甚至可能要经 过好几代人的努力，但科学家们绝不会轻言放弃。

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例1 证明 的磁性物质表面为等磁势面。以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 解 界条件 n B2 B1 0 , n H 2 H1 0 以及 B2 0 H 2 , B1 1 H 1 可得

0 H 2 n H 1n ,

H 2 t H 1t ,

式中n和t分别表示法向和切向分量。 两式相除得

H 2t 0 H1t 0 H 2 n H1n

在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表 面为等磁势面

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例2 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生 的磁场。解铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁 荷。在铁球内由于均匀磁化，则有 M M0

m 0 M 0 0

因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势 1和球 内磁势 2都满足拉普拉斯方程，

1 0,2

2 0.2

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由于轴对称性，极轴沿 M 0方向，上式解的形式为：

球外磁标势必随距离R增大而减小，即

bn 1 (an R n 1 ) pn (cos ) R n dn n 2 (cn R n 1 ) pn (cos ) R nn

1 R 0 , 2 R 0 有限值 ,bn 1 n 1 pn (cos ) n R

即 an 0从而得到 d n 0( R R0 ) (R0 R)

球内磁标势当R=0时必为有限，即

2 cn R n pn (cos )n

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bn 1 n 1 pn (cos ) n R

( R R0 ) (R0 R)

2 cn R pn (cos )n n

铁球表面边界条件为当R=R0 (R0为铁球半径)时 ，且设球 外为真空，则有

1 2

B1R B2 R

(n 1)bn 1 B1R 0 H1R 0 0 Pn (cos ), n 2 R R n

B2 R

2 0 H 2 R 0 M 2 R 0 0 M 0 cos R n 1 0 ncn R Pn (cos ) 0 M 0 cos n

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bn Pn (cos ) ncn R0n Pn (cos ). R n 1 n n 0(n

1)bn Pn (cos ) ncn R0n 1 Pn (cos ) M 0 P (cos ) Rn 2 1 n n 0通过比较得

1 1 3 c1 M 0 , b1 M 0 R0 . 3 3 cn bn 0, n 1. M 0 R cos R M 0 R 1 , 2 3 3 R 3 R3 0 3 0

于是得

1 1 2 M 0 R cos M 0 R. 3 3

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M 0 R cos R M 0 R 1 , 2 3 3 R 3 R3 0 3 0

1 1 2 M 0 R cos M 0 R. 3 3

4 R M 0 R M0 R m R 1 V , 3 3 3 3 4 R 4 R 4 R3 0

V为铁球的体积 铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为3 4 R0 m M 0 M 0V 3

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铁球外的磁场强度为3 1 R0 M 0 cos H1 m1 ( er e ) r r 3r 2 3 3 2 M 0 R0 cos M 0 R0 sin er e 3 3 3r 3r 2m cos m sin er e 3 3 4 r 4 r

球内磁场是

1 1 2 M 0 R cos M 0 R. 3 3 1 H 2 2 M 0 , 3 2 B2 0 ( H 2 M 0 ) 0 M 0 . 3

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3 3 2M 0 R0 cos M 0 R0 sin H1 er e 3 3 3r 3r 3 3 2 0 M 0 R0 cos 0 M 0 R0 sin B1 …… 此处隐藏：1588字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……