江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题(2)

y1y2 15，

又 MN y2 y1 y1 +y1≥

y1y1

MN的最小值为10分

(3)圆心C的坐标为(4,

y2 y1y1 y2

. )，半径r

22

江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题

y1 y22(y2 y1)2

) 圆C的方程为(x 4) (y ， 24

2

整理得：x2 y2 8x (y1 y2)y 16 y1y2 0. 16分

y1y2 15， x2 y2 8x (y1 y2)y 1 0

令y 0，得x2 8x 1

0， x 4 圆C

过定点(4. 16

分

19．解：（1）∵2Sn pan 2n，∴2Sn 1 pan 1 2(n 1)，∴2an 1 pan 1 pan 2，

∴an 1 分

∵2a1 pa1 2，∴a1

p2p

an (an 1)， 4，∴an 1 1 p 2p 2p 2

p

0，∴a1 1 0 p 2

∴

an 1 1p

0，∴数列 an 1 为等比数列． an 1p 2

pnpn

，∴an ( 1 8分 p 2p 2

（2）由（1）知an 1 (

又∵a2 3，∴(

p2

1 3，∴p 4，∴an 2n 1 10分 p 2

（3）由（2）得bn log22n，即bn n,(n N*)， 数列{Cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是： （1 2 3 k )

( 2

1

22 2

k

2

2 )

k(k 1)

2

k

12分 22

当k=10 时，其和是55 210 2 1077 2011

江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题

当k=11 时，其和是66 211 2 2112 2011

又因为2011-1077=934=467 2，是2的倍数 14分 所以当m 10 (1 2 22 28) 467 988时，Tm 2011，

所以存在m=988使得Tm 2011 16分 20．（1）方程|f(x)| g(x)，即|x2 1| a|x 1|，变形得|x 1|(|x 1| a) 0，

显然，x 1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x 1| a， 有且仅有一个等于1的解或无解 ，

结合图形得a 0. 4分

（2）不等式f(x)≥g(x)对x R恒成立，即(x2 1)≥a|x 1|（*）对x R恒成立， ①当x 1时，（*）显然成立，此时a R；

x2 1x2 1 x 1,(x 1),

②当x 1时，（*）可变形为a ，令 (x)

|x 1| (x 1),(x 1).|x 1|

因为当x 1时， (x) 2，当x 1时， (x) 2， 所以 (x) 2，故此时a≤ 2.

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤ 2. 8分

x2 ax a 1,(x≥1),

（3）因为h(x) |f(x)| g(x) |x2 1| a|x 1|= x2 ax a 1,( 1≤x 1), 10分

x2 ax a 1,(x 1).

a

① 当 1,即a 2时，结合图形可知h(x)在[ 2,1]上递减，在[1,2]上递增，

2

且h( 2) 3a 3,h(2) a 3，经比较，此时h(x)在[ 2,2]上的最大值为3a 3.

aa

② 当0≤≤1,即0≤a≤2时，结合图形可知h(x)在[ 2, 1]，[ ,1]上递减，

22

aa2a

a 1， 在[ 1, ]，[1,2]上递增，且h( 2) 3a 3,h(2) a 3，h( )

242

经比较，知此时h(x)在[ 2,2]上的最大值为3a 3.

aa

③ 当 1≤ 0,即-2≤a 0时，结合图形可知h(x)在[ 2, 1]，[ ,1]上递减，

22

aa2a

a 1， 在[ 1, ]，[1,2]上递增，且h( 2) 3a 3,h(2) a 3，h( )

242

经比较，知此时h(x) 在[ 2,2]上的最大值为a 3.

3aaa

④ 当 ≤ 1,即-3≤a 2时，结合图形可知h(x)在[ 2,]，[1, ]上递减，

2222aa

在[,1]，[ ,2]上递增，且h( 2) 3a 3 0, h(2) a 3≥0，

22

经比较，知此时h(x) 在[ 2,2]上的最大值为a 3. a3

当 ,即a 3时，结合图形可知h(x)在[ 2,1]上递减，在[1,2]上递增， 22

江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题

故此时h(x) 在[ 2,2]上的最大值为h(1) 0.

综上所述，当a≥0时，h(x)在[ 2,2]上的最大值为3a 3；

当 3≤a 0时，h(x) 在[ 2,2]上的最大值为a 3；

当a 3时，h(x) 在[ 2,2]上的最大值为0. 16分

附加题答案

21.A.【证明】因为PA与圆相切于A， 所以DA2 DB DC， 因为D为PA中点，所以DP DA，

所以DP=DB·DC，即

2

P

因为 BDP PDC， 所以 BDP∽ PDC，所以 DPB DCP． 10分 B．解：矩阵M的特征多项式为 f( )

PDDB

． 5分

DCPD

1

2 2

=( 1)( x) 4 1分 x

因为 1 3方程f( ) 0的一根，所以x 1 3分 由( 1)( 1) 4 0得 2 1， 5分 设 2 1对应的一个特征向量为 ,

x y

则

2x 2y 0

得x y 8分

2x 2y 0

令x 1,则y 1,

所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

1

10分 1

C．消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y 2x 1； 2分

4

两边同乘以 得 2 2( sin cos )，

)即 2(sin cos )，

得⊙C的直角坐标方程为：(x 1)2 (x 1)2 2, 6分

江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题

圆心C到直线l

的距离d

所以直线l和⊙C相交． 10分 D.

因为y2

2≤[12 2][1 x 2 x] 3 3 6分 ∴ y≤3 8分，

22.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x y 4分

22

(2)证明：设A(x1,x1), B(x2,x2)， ∵y x2， ∴ y 2x，

2

”号，即当x 0时，ymax 3 10分 ∴ AN, BN的斜率分别

2

为2x1, 2x2，故AN的方程为y x1 2x1(x x1)，BN的方程

2为y x2 2x2(x x2) 7分

2

x1 x2x1 x2 y 2x1x x1

x x 即 ，两式相减，得，又， NM2

22 y 2x2x x2

∴ M, N的横坐标相等，于是MN x 10分

第22题

23.(1)P( )是“ 个人命中,3 个人未命中”的概率.其中 的可能取值为0，1，2，3.

1 010 22

P( 0) C1 1 C2(1 a) (1 a),

2 2

101 1120 P( 1) C1(1 a2), 1 C2(1 a) C1 1 C2a(1 a) 22 2 111 2210 2

P( 2) C1 Ca(1 a) C1 121 C2a (2a a),

22 2

2

122a

P( 3) C1 C2a . 1

22

所以 的分布列为

的数学期望为

E 0 (1 a) 1 (1 a) 2 (2a a) 3

2

2

2

1

2

1

2

1

2

a2

2

4a 1

. 5分 2

江苏省苏北四市2011届高三第一学期期末数学试题

(2) P( 1) P( 0)

1

2

1 a2 (1 a)2 a(1 a),

P( 1) P( 2) 11 2a2 (1 a2) (2a a2

) 2

, P( 1) P( 3) 12

1 2a222 (1 a) a 2

.

a(1 a) 0,由

1 2a 0,和0 a 1，得0 a 1 1

2

2,即a的取值范围是 0,2 .

1 2a

2

2

0

10分