数理方程试题及解答(一)

（一）

一、填空：（10×3分=30分）

1．三维形式波动方程为：（utt cuxx uyy uzz 0） 2．三维形式热传导方程为：（ut cuxx uyy uzz 0） 3．用以说明（边界上的约束情况）的条件称为边界条件。 4．用以说明 (初始状态 ) 的条件称为初始条件。 5．拉普拉斯方程的连续解称为：（调和函数 ） 6．写出第一格林公式 ( u 2vdV u

2

2

v

dS gradu gradvdV ) n

1

7．写出调和函数的积分表达式（ u m0

4

1 u M n rM0M

m

1 u M

dS）

rMM n

0

8．n阶第一类贝塞尔函数Jn(x)表达式为(Jn x 1

m 0

xn 2m

2n 2mm! n m 1 n 0 )

9．勒让德方程的形式为：

dyd2y

1 x 2x n n 1 y 0 2

dxdx

2

10．写出能量积分表达式:E t ut x,t ux x,t dx

2

2

l

二、（6分）若F x ,G x 二次连续可微，证明u F x at G x at

2

2u2 u a 0 满足方程： 22 t x

证明：令x at v,x at w，则有

F G u F v G w

a a

v w t v t w t

2u F v G w F G

a a 2

t t v t w t t v w

2

F G a22 a22

v w

--------------------------------------------------------------4分

2

2

2

22

u u2 F G故有 u F G u a 0 22;222

t x x v w x v w

-------------------------------------------------------------2分 三、（8分）证明定解问题

2

2u2 u, x ,t 0; 2 a2 t x

ut 0 0, x

u 0, x tt 0

只有零解.

证明:由一维波动方程的能量不等式

2

u 2 u22 222 t a x dx e a xdx fdxdt

K 0

------------------------------------------------------4分

有:当 f 0时

2

u 2 u2

t a x dx 0

故

u u

0,由于u是一个光滑函数,所以u x,t 常数.但是,当t 0时 t x

u 0 ,所以u x,t 0,即所给定解问题只有零解. -------------------------------------------------------4分 四、（8分）证明： sin mxsin nxdx 0 m n ,其中 n满足

0l

nco snl hsin nl 0,h为常数.

证明：

l

sin mxsin nxdx=

1l

cos m n x cos m n x dx 02

m n lsin m n l -------------------------------------------------------4分 1 sin

2 m n m n

由 mcos ml hsin ml 0, ncos nl hsin nl 0,可推出

sin m n l

l

m n

h

cos mlcos nl,sin m n l

m n

h

cos mlcos nl

1 sin m n lsin m n l

即有： sin mxsin nxdx =0（证完）-----------------4分

02 m n m n 五、（8分）由定解问题

2 2u2 u a; 22

t x

ut 0 x , x

utt 0 x , x

导出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式.

x at

解:作代换 ,利用复合函数微分法则得

x at

2

2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2 u 2 2 2, 2 a 2 2 2 2

x t

2u

代入原方程得 0. 对 积分得

u

f , (f 是 的任意可微函数),再将此式对 积分得

u x,t f d f2 f1 x at f2 x at

其中f1,f2都是任意二次连续可微函数,上式就是方程的通解. -------------------------------4分

f x f2 x x ,

代入定解条件得 1, 解出

af1 x af2 x x

11xC11xC

d fx x d f1 x x , 2

22a 0222a 02

从而得无限长弦自由振动的达朗贝尔公式

u x,t f d f2 f1 x at f2 x at

=

x at1

x at x at 1 x at d ----------------------------------------------4分 22a

1 n11 k2

(k 1) 六、（8分）证明: kcosn t 2

2n 121 2kcos t k

11nnin t in t

kcosn t ke e 证明:

2n 12n 1

11 1 i t n i t n

ke ke 22n 12n 1

11kei t 1ke i t , k 1 ----------------------4分

i t i t221 ke21 ke

1 kcos t iksin t kcos t iksin t 1

2 1 kcos t iksin t1 kcos t iksin t

-------------------4分

1 2kco s t 2k2 11 k2

1 2 2 1 2kcos t k 21 2kcos t k2

y 0, x ,

2u 2u 2u

32 0; 2 2

x y y x

七、（8分）解柯西问题：

2 u u 3x, 0.y 0

yy 0

x

解：特征方程

dy

2

2dxdy 3 dx 0，两族积分曲线为

2

3x y C1x y C2

作特征变换

3x y 2u

0，它的通解为 ，原方程化成

x y

u x,y f1 f2 ，其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函

数。原方程的通解为

u x,y f1 3x y f2 x y ----------------------------------------------4分

把这两个函数代入边界条件得

f1 3x f2 x 3x2

f3x fx 012

解得

f1 x

f2 x

从而得所求的解为

12

x C 4

32

x C 4

1322

u x,y 3x y x y 3x2 y2

44

-------------------------------------------------4分 八、（8分）证明:y Jn x 是方程x2y xy 2x2 n2y 0的解.

证明:由于y Jn x 是方程x2y xy x2 n2y 0的解,将y Jn x 代入方程

x2y xy 2x2 n2y 0

x xJn x 2x2 n2Jn x , -------------------------------------------4分 左端得 2x2Jn

u uJn u u2 n2Jn u =0,即y Jn u 是方程 令u x则有u2Jn

u uJn u u2 n2Jn u =0 u2Jn

的解,亦即y Jn x 是方程

x2y xy 2x2 n2y 0的解. -------------------------------------------------4分

2u 2u 2u

2 2 2 0,z 0

y z九、（8分）解定解问题: x

ut 0 f x,y , x,y ：

11

,其中 rMM0rMM1

1

解：用电象法先求出半空间z 0的格林函数G M,M0

4

M0 x0,y0,z0 与M1 x0,y0, z0 关于z 0平面对称. -------------------------------------------4分

G G

nz 0 zz 0