中南大学高等数学作业参考答案

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《高等数学》作业参考答案

第一章 函数作业（练习一）

一、填空题:

1.函数f(x)

1

x的定义域是________。

ln(x 2)

解：对函数的第一项，要求x 2 0且ln(x 2) 0，即x 2且x 3；对函数的第二项，要求

5 x 0，即x 5。取公共部分，得函数定义域为(2,3) (3,5]。

2.函数y

x2 9

的定义域为________。

x 3

x 3x2 92

有意义，必须满足x 9 0且x 3 0，即 成立，解不等式方程

x 3 x 3 x 3或x 3

，故得出函数的定义域为( , 3] (3, )。

x 3

2

解：要使y

组，得出

x

3.已知f(e 1) x 1，则f(x)的定义域为________。 解：令e 1 u, 则x ln 1 u ,

x

f(u) ln2 1 u 1, 即 f(x) ln2 1 x 1, 故f(x)的定义域为 1,

4.函数y

x2 4

2

1

的定义域是________。 解：( , 2] [2, ) x 1

2

5.若函数f(x 1) x 2x 5，则f(x) ________。 解：x 6

二、单项选择题：

1.若函数y f(x)的定义域是[0，1]，则f(lnx)的定义域是 ［ C ］ A.(0, ) B.[1, ) C.[1,e] D.[0,1]

2.函数y lnsin x的值域是 ［ D ］ A.[ 1,1] B.[0,1] C.( ,0) D.( ,0]

3.设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x) f( x)是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 解：A、B、D三个选项都不一定满足。

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设F(x) f(x) f( x)，则对任意x有

F( x) f( x) f( ( x)) f( x) f(x) f(x) f( x) F(x)

即F(x)是偶函数，故选项C正确。

ax 1

4.函数f(x) xx (a 0,a 1) ［ B ］

a 1

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a x 1a x(1 ax)ax 1

f( x) ( x) x x x xx f(x) 所以B正确。 x

a 1a(1 a)a 1

5.若函数f(x ) x

2

1x

2

1

，则f(x) ［ B ］ x2

2

2

A.x B.x 2 C.(x 1) D.x 1。 解：因为x2

2

11121122

所以 x 2 2 (x ) 2f(x ) (x ) 2

xxxx2x2

2

则f(x) x 2，故选项B正确。

6.设f(x) x 1 ，则f(f(x) 1)= ［ D ］ A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 解：由于f(x) x 1， 得f(f(x) 1) (f(x) 1) 1＝f(x) 2

将f(x) x 1代入 得f(f(x) 1)=(x 1) 2 x 3

7.下列函数中，( )不是基本初等函数。 ［ B ］

1sinx

y ()xy 52

y xy lnxecosxA． B． C． D．

解：因为y lnx是由y lnu，u x复合组成的，所以它不是基本初等函数。 8.设函数f(x)

2

2

cosx,x 0

，则f( )= ［ C ］

x 04 0,

A．f(

)=f() B．f(0) f(2 )

44

C．f(0) f( 2 ) D．f()=

4

2

2

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解：因为 2 0，故f( 2 ) cos( 2 ) 1 且f(0) 1， 所以f(0) f( 2 ) 9.若函数f(e) x 1，则f(x)= ［ C ］ A. e 1 B. x 1 C. lnx 1 D. ln(x 1)

10.下列函数中y ( )是偶函数. ［ B ］

2

A. f(x) B. f(x) C. f(x) D. f(x) f( x)

x

x

三、解答题：

0 x 1 x

1．设f(x) ，求：(1)f(x)的定义域；(2)f(0)，f(1)，f(2)。

lnx1 x e

解：(1)分段函数的定义域是各区间段之和，故f(x)的定义域为[0,1] (1,e) [0,e)

(2) 0 x 1时，f(x) x f(0) 0，f(1) 1

1 x e时，f(x) lnx f(2) ln2

x 1,

f(x) 2. 设

x

x 0 x,

g(x) , 求复合函数f(g(x)),g(f(x))。 2

x,x 0x 0 x 0

x 1, 1 x 0

x 1,x 0 2

解:f g x 2 g f x 1 x ,x 1

x 1,x 0 x2,x 0

3．（1）f(x) a a

x

x

(a 0)；

x

x

解: f x a a（2）f(x) ln

f x f x ax a x为偶函数

1 x

1 x

1 x1 x1 x

为奇函数 ln f x f x ln

1 x1 x1 x

2

解: f x ln

（3）f(x) ln(x x)

解: f x ln x x

2

ln

1x x

2

lnx x2 f x ,

f x lnx x2为奇函数

4．已知f(x) sinx，f x 1 x，求 (x)的定义域

2

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解： f x sin x 1 x, x arcsin1 x

2

2

, 故 x 的定义域为

2 x 2

第二章 极限与连续作业（练习二）

一、填空题：

1.lim

x sinx

________ 答案：1

x x

正确解法：lim

x sinxsinxsinx

lim(1 ) lim1 lim 1 0 1

x x x x xxx

x2 ax b

2.已知lim2 2，则a _____，b _____。

x 2x x 2

由所给极限存在知4 2a b 0 得b 2a 4

x2 ax bx a 2a 4

lim 2 知a=2 b=-8 又由lim2

x 2x x 2x 2x 13ex b

，则a _____， b _____。 3.已知lim

x 0(x a)(x 1)

ex b(x a)(x 1)a

lim ， 即lim 0， ∴a=0 b≠1 xx 0(x a)(x 1)x 01 be b

1

xsin

4.函数f(x) x

x 1

x 0x 0

的间断点是x _____。

解：由f(x)是分段函数，x 0是f(x)的分段点，考虑函数在x 0处的连续性。

因为lim xsin

x 0

1

0lim (x 1) 1f(0) 1 所以函数f(x)在x 0处是间断的，

x 0x

又f(x)在( ,0)和(0, )都是连续的，故函数f(x)的间断点是x 0。 5.极限limxsin

x 0

1

_____。 x

1

是有界变量。 x

解：因为当x 0时，x是无穷小量，sin

故当x 0时，xsin

11

仍然是无穷小量。所以 limxsin 0

x 0xx

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x 1

6.当k_____时，f(x) 2