上海市黄浦区2016年高三数学一模(2)

ab

222

(kx0 y0)2(kx0 y0)22k2x0 2y0x022 d d ，将代入上式， y b1 02 k2 1k2 1k2 1a 2

1

22

2

x0

2kx 2b 1 2

a2

得d12 d2

k2 1

220

2

2b2 2

2 k 2 x0 2b2

a ，（8分） k2 1

b2b2

对于任意x0 [ a,a]，上式为定值，必有k 2 0，即k ，（9分）

aa

2a2b2bb22

因此，直线l1和l2的斜率分别为和 ，此时d1 d2 2．（10分） 2

a baa

22

（3）设AC与圆x y 1相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0x y0y 1．

x0x y0y 1

点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组 x2y2的实数解．

1 2

b2 a

① 当x0 0或y0 0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有

11

（11分） 1．

a2b2

x2y21

② 当x0 0且y0 0时，将y (1 x0x)代入2 2 1，

aby0

6

2016年上海市各区数学一模文科试卷+答案17区全部

2

a2(1 b2y0)

整理得(by ax)x 2x0ax a(1 by) 0，于是x1x2 22，（13分） 2

by0 a2x0

2

20220

2222

20

2

b2(1 a2x0)

同理可得y1y2 22．（15分） 2

by0 a2x0

因为ACBD为菱形，所以AO CO，得AO CO 0，即x1x2 y1y2 0，（16分）

22

a2(1 b2y0)b2(1 a2x0)22222222

于是22，整理得，由 0a b ab(x y)x y 1， 0000222222

by0 ax0by0 ax0

11

（18分） 2 1．2

ab

11

综上，a，b满足的关系式为2 2 1．

ab

得a2 b2 a2b2，即

(文) [解]（1）a1 2，a2 3，a3 1；b1 2，b2 1，b3 3．（2分）

a1 1，a2 3，a3 2；b1 3，b2 1，b3 2．（4分）

[证明]（2）若ak bk（k 1,2, ,n），则有ak n 1 ak，于是ak 当n为正偶数时，n 1为大于1的正奇数，故

n 1

．（6分） 2

n 1

不为正整数． 2

因为a1，a2， ，an均为正整数，所以不存在满足ak bk（k 1,2, ,n）的数列{an}．（10分） [解]（3）ck n (k 1)（k 1,2, ,n）．（12分）

因为ck (n 1) k，于是c1 2c2 ncn (n 1) 1 2[(n 1) 2] n[(n 1) n]（14分） (1 2 n)(n 1) (12 22 n2) （16分） 111

（18分） n(n 1)2 n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2)．

266

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

n 1

(理) [证明]（1）若ak bk（k 1,2, ,n），则有ak n 1 ak，于是ak ．（2分）

2

n 1

当n为正偶数时，n 1为大于1的正奇数，故不为正整数，

2

因为a1，a2， ，an均为正整数，所以不存在满足ak bk（k 1,2, ,n）的数列{an}．（4分） [解]（2）ck n (k 1)（k 1,2, ,n）．（6分）

因为ck (n 1) k，于是Sn c1 2c2 ncn [(n 1) 1] 2[(n 1) 2] n[(n 1) n]（8分）

111

（10分） (1 2 n)(n 1) (12 22 n2) n(n 1)2 n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2)．

2661

[证明]（3）先证b1 2b2 nbn≤n(n 1)(2n 1)．

6

22

(1 b1)2 (2 b2)2 (n bn)2 (12 22 n2) 2(b1 2b2 nbn) (b12 b2 bn) ①， 这里，bk n 1 ak（k 1,2, ,n），因为a1，a2， ，an为从1到n按任意次序排列而成，所以b1，

22b2， ，bn为从1到n个整数的集合，从而b12 b2（12分） bn=12 22 n2，

于是由①，得0≤(1 b1)2 (2 b2)2 (n bn)2 2(12 22 n2) 2(b1 2b2 nbn)， 因此，b1 2b2 nbn≤12 22 n2，即b1 2b2 nbn≤n(n 1)(2n 1)．（14分）

1

6

7

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再证a1 2a2 nan≥Sn．

由bk n 1 ak，得b1 2b2 nbn (n 1 a1) 2(n 1 a2) n(n 1 an)

n(n 1)2

[1(n 1) 2(n 1) n(n 1)] (a1 2a2 nan) (a1 2a2 nan)，（16分）

2

n(n 1)211

(a1 2a2 nan)≤n(n 1)(2n 1)， 因为b1 2b2 nbn≤n(n 1)(2n 1)，即

266

n(n 1)21n(n 1)(n 2)

n(n 1)(2n 1) 所以a1 2a2 nan≥， 266

即a1 2a2 nan≥Sn．（18分）

(文) [解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为y x和y x．（1分）

y x,

点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组 x2y2的实数解，

1

1691442

将y x代入椭圆方程，解得x12 x2．

25

576

根据对称性，可得正方形ACBD的面积S 4x12 ．（4分）

25

[证明]（2）由题设，直线l2的方程为bx ay 0，（6分）

于是d1 ，d2 ，（8分）

(bx ay)2(bx ay)22(b2x2 a2y2)2a2b222

d1 d2 2 2 2．（10分）

b a2b a2b2 a2a b2

[解]（3）设AC与圆x2 y2 1相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0x y0y 1．

x0x y0y 1

点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组 x2y2的实数解．

1 2

b2 a

① 当x0 0或y0 0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有

11

（11分） 1．

a2b2

x2y21

② 当x0 0且y0 0时，将y (1 x0x)代入2 2 1，

aby0

2

a2(1 b2y0)

整理得(by ax)x 2x0ax a(1 by) 0，于是x1x2 22，（13分） 22

by0 ax0

2

20220

2222

20

2

b2(1 a2x0)

同理可得y1y2 22．（15分） 2

by0 a2x0

因为ACBD为菱形，所以AO CO，得AO CO 0，即x1x2 y1y2 0，（16分）

22

a2(1 b2y0)b2(1 a2x0)2222

0，整理得a2 b2 a2b2(x0 y0)，由x0 y0 1， 于是22

222222

by0 ax0by0 ax0

11

（18分） 1．

a2b2

11

综上，a，b满足的关系式为2 2 1．

ab

得a2 b2 a2b2，即

8