罗朗级数及展开方法

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4.5 罗朗级数及展开方法我们已经知道，若函数 f ( z ) 在圆域 z z0 R 内 解析，则 f ( z ) 在 z0 点可展开成幂级数，且由上面的推论 知，当 f ( z ) 在 z0 处不解析时，则 f ( z ) 在 z0 处肯定不能 展开成幂级数. 那么， 如果我们挖去不解析的点 z0 , 函数

f ( z ) 在解析的环域： R1 z z0 R2 内是否可展开成幂级数呢？这就是我们下面要讨论的问题: 罗朗级数.它 和泰勒级数一起，都是研究复变函数的有力工具.

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4.5.1罗朗级数

形如

n

cn ( z z0 )n c n ( z z0 ) n c 1 ( z z0 ) 1 c0

c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n

(4.5.1) 的级数称为罗朗(Laurent)级数， 其中 z0 , cn (n 0, 1, 2, ) 都是复常数.

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由于这种级数没有首项， 所以对它的敛散性我们无法 象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义， 容易 看出罗朗级数是双边幂级数，即它是由正幂项(包含常数 项)级数

cn ( z z0 )n n 0

(4.5.2)

和负幂项级数n

cn ( z z0 )n c n ( z z0 ) n n 1

1

(4.5.3)

两部分组成.

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因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数(4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：当且仅当 正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原 级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.对于正幂项级数

cn ( z z0 ) n ,它是一个通常的幂级数， n 0

其收敛域是一个圆域. 设它的收敛半径为 R2 ,则当

z z0 R2 时，该级数收敛；当 z z0 R2 时，级数发散.

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定理 4.5.1 (罗朗级数展开定理) 设函数 f ( z ) 在 圆环域 R1 z z0 R2 内解析， 则在此圆环内 f ( z ) 必 可展开成罗朗级数

f ( z)

n

cn ( z z0 )n

(4.5.4)

其中系数项

1 f ( ) cn C ( z0 )n 1 d 2πi

(n 0, 1, 2, )(4.5.5)

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R

R1 1 z z0 Γ1 R2

2

C

2

图 4.3

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设 C : z z0 R ,且满足

1 R 2 ,则由闭路变形定理，其系数cn 也可表示为1 f ( ) cn C ( z0 )n 1 d , 2πi (n 0,1, 2, )其中 C 沿逆时针方向.

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4.5.2 罗朗级数展开方法实例罗朗级数展开定理给出了将一个在圆 环域内解析的函数展开成罗朗级数的一般 方法，即求出 cn 代入即可，这种方法称为 直接展开法. 但是， 当函数复杂时， cn 往 求 往是很麻烦的.

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ez 例 4.5.1 把函数 f ( z ) 2 在以 z 0 z 为中心的圆环域 0 z 内展开成罗朗级数.【解】 直接法展开 利用公式(4.5.5)计算 cn ,那么就有

1 e cn C n 3 d 2πi 其中 C 为圆环域内

的任意一条简单曲线.

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当 n 3 0 ,即 n 3 时，由于 e z z n 3 解析，故由柯西 -古萨基本定理知， cn 0 ,即 c 3 0 , c 4 0 ,…, 当 n 2 时，由高阶导数公式知

1 e 1 cn d (e )( n 2) C 2 i n 3 (n 2)!故有

1 0 (n 2)!

ez zn 1 1 1 1 1 2 2 z z 2 z z z 2! 3! 4! n 2 (n 2)!