24.2.2 直线和圆的位置关系(4)

切线长定理A

如图：过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切. 在经过圆外一点的圆的切 线上，这点和切点间的线 段的长，叫做切线长.

O

P

B

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.

如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上 面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？A N A

·B C B

·D

I

M

C

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条 角平分线的交点,叫做三角形的内心；这个 三角形叫做圆的外切三角形。

1.一个三角形有且只有一个内切圆； 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切∴AF=AE,BD=BF,CE=CD设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm)

则有

x+y=9 y+z=14 x+z=13

x=4 解得 y=5 z=9 CE=9(cm).

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

三角形的内切圆的有关计算如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A

解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC1 l· r 2

D F O

·C

B 1 1 1 = 2 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2 AC· OF=

E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图，Rt△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=cD O F

·B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图，Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。

解：(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中，BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2

)如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3D O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

基础题：正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.

G E

F H

4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

希望大家如这朝阳,

越升越高!越开越艳!