2019-2020年苏教版数学必修一讲义：第3章+3.1+3.1.2 第1课时 指

2019-2020年苏教版数学必修一讲义：第3章+3.1+3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象与

性质及答案

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3.1.2 指数函数

第1课时 指数函数的概念、图象与性质

1．指数函数的概念

一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域是R . 2．指数函数的图象和性质

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

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- 2 - / 10 (1)函数y ＝3·2x 是指数函数．

( ) (2)指数函数的图象与x 轴永不相交．

( ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为增函数．

( )

(4)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x ＞1.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

[提示] (1)y ＝3·2x 的系数为3，故y ＝3·2x 不是指数函数．

(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交．

(3)y ＝2－x ＝? ????12x 是减函数．

(4)a >1时，若x <0，则a x <1.

2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)

(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ；

(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．

(4)(6) [只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b >0且b ≠1，所以是．]

3．若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(2,9)，则f (x )＝________.

3x [由于a 2＝9，∴a ＝±3.∵a ＞0，∴a ＝3，

∴f (x )＝3x

.]

【例1】 函数f (x

)＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值．

思路点拨：利用指数函数的定义求解．

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- 3 - / 10 [解] ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，

∴????? a 2－7a ＋7＝1，a >0，a ≠1，∴?????

a ＝1或a ＝6，a >0，a ≠1， ∴a ＝6，即a 的值为

6.

指数函数具有以下特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ；②指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；③a x 的系数是

1.

1．已知y ＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是________．

??????????a ??? a >12且a ≠1 [要使y ＝(2a －1)x 是指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，

∴a >12且a ≠1.]

(1)? ????34－1.8与? ????34－2.6；(2)? ????58－23与1；(3)0.6－2与? ????43－23；(4)? ??

??130.3与3－0.2. 思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．

[解] (1)0<34<1，y ＝? ????34x 在定义域R 内是减函数． 又∵－1.8>－2.6，

∴? ????34－1.8<? ??

??34－2.6. (2)∵0<58<1，∴y ＝? ??

??58x 在定义域R 内是减函数． 又∵－23<0，

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- 4 - / 10 ∴? ????58－23>? ??

??580＝1， ∴? ??

??58－23>1. (3)∵0.6－2>0.60＝1，? ????43－23<? ??

??430＝1， ∴0.6－2>? ??

??43－23. (4)∵? ??

??130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数， 又∵－0.3<－0.2，

∴3－0.3<3－0.2，∴? ??

??130.3<3－0.2

.

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：

(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.

(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.

(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象

.

2．比较下列各组数的大小：

(1)1.9－π与1.9－

3； (2)0.60.4与0.40.6；

(3)? ????4313，223，? ????－233，? ??

??3412. [解] (1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π<－3，

∴1.9－π<1.9－3.

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- 5 - / 10 (2)∵y ＝0.6x 在R 上递减，

∴0.60.4>0.60.6.

又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 图象的上方，

∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.

(3)∵? ????－233<0，? ????4313>1,223>1,0<? ??

??3412<1， 又在y 轴右侧，函数y ＝? ??

??43x

的图象在y ＝4x 的下方， ∴? ??

??4313<413＝223， ∴? ????－233<? ????3412<? ??

??4313<223.

【例3】 (1)已知4≥2x ＋1>223，求x 的取值范围；

(2)已知0.3x >? ????103y

，求x ＋y 的符号． 思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解．

[解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x ＋1>22

3.

∵y ＝2x 是单调递增的，∴2≥x ＋1>23，

∴－13<x ≤1，

∴x 的取值范围为??????????x ?

?? －13<x ≤1. (2)(0.3)x >? ????103y ＝? ??

??310－y ＝0.3－

y . ∵y ＝0.3x 是减函数，∴x <－y ，∴x ＋y <0.

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- 6 - / 10 1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．

2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．

3．(1)若例3题(1)改为4≥? ??

??12x ＋1>223，则x 的取值范围为_____． (2)解关于x 的不等式a 3x －2≤a x ＋2，(a ＞0且a ≠1)．

(1)????

??－3，－53 [∵223<2－(x ＋1)≤22，又y ＝2x 是增函数，∴23<－(x ＋1)≤2，解得－3≤x <－53.]

(2)[解] ①当a >1时，3x －2≤x ＋2，∴x ≤2.

②当0<a <1时，3x －2≥x ＋2，∴x ≥2.

综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤2}，

当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥2}.

1．在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝2x ＋1，y ＝2x ＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y ＝2x ，y ＝2x －1，y ＝2x －1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．

[提示]

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结论：y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平 …… 此处隐藏：3189字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……