2019届高考数学二轮复习 寒假作业(十九)计数原理(注意解题的速度

2019届高考数学二轮复习 寒假作业（十九）计数原理（注意解题的

速度）理

一、选择题

1．若a ∈{1,2,3,5}，b ∈{1,2,3,5}，则方程y ＝b a

x 表示的不同直线条数为( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14 解析：选C 由题意，不考虑重复情况，有4×4＝16(种)情况，其中11＝22＝33＝55

＝1，斜率为1时重复3次，故方程y ＝b a

x 表示不同的直线有16－3＝13(条)． 2．(2017·惠州第三次调研考试)? ??

??12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

解析：选 A ? ????12x －2y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·? ????12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·? ??

??125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35? ??

??122·(－2)3＝－20. 3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人

完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 1

1A 22

＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．

4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )

A ．10种

B ．20种

C ．36种

D ．52种 解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C 14C 33＋C 24C 22＝10(种)．

5．若?

????9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )

A ．84

B ．－252

C ．252

D ．－84 解析：选A 由题意可得C 2n ＝36，∴n ＝9.

∴?

????9x －13x n ＝? ????9x －13x 9的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9·99－r ·? ????－13r ·x 9－3r 2

， 令9－3r 2

＝0，得r ＝6. ∴展开式中的常数项为C 69×93×? ??

??－136＝84. 6．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数(含2和5)的个数是( )

A ．120

B ．36

C ．60

D ．48

解析：选B 由题意得，含有2和5且2和5不相邻的四位数有C 23A 22A 23＝36个．

7．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为

( )

A ．24

B ．18

C ．16

D ．10

解析：选D 第一类，甲景区在最后一个体验，则有A 33种方法；第二类，甲景区不在最

后一个体验，则有A 12A 22种方法，所以小李旅游的方法共有A 33＋A 12A 22＝10种，故选D.

8．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )

A ．－1

B ．1

C ．32

D ．64

解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，

则由题意可得????? C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6

的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，选D.

9．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )

A ．15

B ．20

C ．30

D ．42

解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C 24种分法，三组篮球进行全排列有A 33种，标号

1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A 33种分法，所以有C 24A 33－A 3

3＝36－6＝30种分法．

10．把1＋(1＋x )＋(1＋x )2

＋…＋(1＋x )n

展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则2a n －1a n ＋1

＝( ) A ．2n

B ．2n

－1 C ．2

D ．2－3

2

n ＋1

解析：选D 令x ＝1，得a n ＝1＋2＋22

＋ (2)

＝1－2n ＋1

1－2＝2n ＋1

－1，故2a n －1a n ＋1＝2·2n ＋1

－32n ＋1

＝2－3

2

n ＋1.

11．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为( )

A ．368

B ．488

C ．486

D ．504

解析：选D 法一：以甲的位置分为两类：①甲站右端，有A 5

5种；②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，有A 14A 14A 4

4种，故共有A 5

5＋A 14A 14A 4

4＝504(种)站法．

法二(间接法)：甲在左端的站法有A 5

5种，乙在右端的站法有A 5

5种，甲在左端且乙在右端的站法有A 4

4种，故共有A 6

6－2A 5

5＋A 4

4＝504(种)站法．

12．现需编制一个八位的序号，规定如下：①序号由4个数字和2个x,1个y,1个z 组成；②2个x 不能连续出现，且y 在z 的前面；③数字在0,1,2，…，9之间任选，可重复，且4个数字之积为8.则符合条件的不同序号的种数为( )

A ．12 600

B ．6 300

C ．5 040

D ．2 520

解析：选B 因为4个数字之积为8，则这4个数字的所有情况为1,1,2,4；1,2,2,2；1,1,1,8.当这4个数字为1,1,2,4时，可组成的不同序号有A 66C 2

7

A 22A 22＝3 780种；当这4个数字

为1,2,2,2或1,1,1,8时，可组成的不同序号有A 66C 2

7

A 33A 22＝1 260种．故符合条件的不同序号共

有3 780＋1 260＋1 260＝6 300种．

二、填空题

13．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________． 解析：先排三个空椅子，形成4个间隔，然后插入3个坐人的椅子，故有A 3

4＝24(种)． 答案：24

14．(2017·南昌模拟)在多项式(1＋2x )6

(1＋y )5

的展开式中，xy 3

项的系数为________． 解析：在多项式(1＋2x )6

(1＋y )5

的展开式中，通项为C r 6(2x )r ·C m 5y m

，其中r ＝0,1，…，

6，m＝0,1，…，5.所以xy3项的系数为C16·2·C35＝120.

答案：120

15．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝

1 080(个)．

答案：1 080

16．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.

解析：将等式(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5两边同时求导得，5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(－1)4×2＝10.

答案：10