高等数学复旦大学出版社习题答案五(2)

高等数学复旦大学出版社习题答案

60g2 = 20

5

=750g(KJ) ．

13． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

y=

x

． 10

x

dx 10

（20）

压力元素为

dF=x·2ydx=2x

20

所求压力为

x+5 dx F= 2x 0 10

213 = 5x

15 0 =1467(吨) =14388(KN)

20

14． 半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？

解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为 (x－R)+y=R将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为

dw (2R x)[gπy(x)dx] πg(2R xdx

πg(2R x)(2Rx x)dx

2

2

2

222

（21）

所求的功为

w

2R0

πg(2R x)(2Rx x)dx

2R0

2

πg

(4Rx 4Rx x)dx

2R

223

41

πg 2R2x2 Rx3 x4

34 0 43

πRg (KJ).

4

15． 设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

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（图22）

dF

km dsR

2

km R

2

(Rd )

km R

d

dFx dFcos

km R

cos d ,

则

Fx

2

2

km R

cos d 2 2

km R

cos d

2km R

sin

2

dFy dFsin

km R

sin d

则 Fy

2

km Rsin

2

sin d 0 .

故所求引力的大小为

2km R

2

，方向自N点指向圆弧的中点。

16． 求下列函数在[－a，a]上的平均值：

(1)f(x)

1

a a

解：

2a

x

1a

a0

1 a2πax1x . arcsin a 24a20

a

(2) f(x) x.

1

a a

2

解：

2a

xdx

2

1a

a0

1 13 a

xdx . x a 3 03

2

a

2

17． 求正弦交流电i I0sin t经过半波整流后得到电流

I0sin t, i

0,

π

0 t π

2π

t

的平均值和有效值。

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解：i

π

π

I0sin tdt

π

2π

π

π

0dt

I0

2I01

cos t π π 0

有效值

I

1T

T0

2

t

i(t)dt

2π

2π

0π

i(t)dt

2

2π 0

π2π

i(t)dt

2

π

2

i(t)dt

2π

Isin tdt

I02

20

2

I04

2

故有效值为 I 18． 已知电压u(t)=3sin2t，求

π

(1) u(t)在0,上的平均值；

2

2π

π

.

解： u(t)

20

3sin2tdt

6π

.

(2) 电压的均方根值.

f(x) 解：均方根公式为

x

故

(t) u

19． 设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．

试求最大利润． 解： 设利润函数L(x)． 则L(x)=R(x)－C(x)－50

由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11

令L′(x)=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L(11)= ( x 12x 11)dx 50

011

2

[

13

x 6x 11x]0 50

311

33431 111.

3

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20． 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′(x)（万元/百台），边际收入为R′(x)=7－2x（万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？

(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C′(x)=R′(x)时总利润最大． 即2=7－2x，x=5/2(百台)

(2) L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL(x)=

7252

(5 2x)dx 5x x

2

75 1．

即此时总利润减少1万元.

21． 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为

y

200

800e

5%t

dt

2005%

(1 e

5% 20

)

400(1 e) 2528.4 (万元)

1

纯收入现值为

R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有

2005%T

(1 e15%

5% T

) 800200

=20ln

54

=4.46 (年).

ln

200 800 5%

22． 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

10

xe

(10 t)0.05

dt

即 5=20x(e0.5 1)

x

14(e

0.5

1)

≈0.385386万元=3853.86元．